Limites de suites arithmétiques et géométriques

Suites et limites — Terminale Maths Complémentaires

Limites de suites arithmétiques et géométriques

Introduction

Les suites arithmétiques et géométriques sont des suites fondamentales dont on peut déterminer facilement le comportement à l'infini. Comprendre leurs limites est essentiel pour aborder l'étude générale des suites numériques.

1. Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques

1.1 Suite arithmétique

Définition : Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un réel r (appelé raison) tel que :

[formule]

Le terme général est : u_n = u_0 + nr (ou u_n = u_1 + (n-1)r).

Exemple : La suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n + 3 est arithmétique de raison r = 3.

On a : u_n = 2 + 3n. Les premiers termes sont : 2, 5, 8, 11, 14,

1.2 Suite géométrique

Définition : Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un réel q (appelé raison) tel que :

[formule]

Le terme général est : u_n = u_0 q^n (ou u_n = u_1 q^{n-1}).

Exemple : La suite définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = 2u_n est géométrique de raison q = 2.

On a : u_n = 5 2^n. Les premiers termes sont : 5, 10, 20, 40, 80,

2. Limites des suites arithmétiques

2.1 Cas général

Théorème : Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0.

  • Si r > 0 : _{n +} u_n = +
  • Si r < 0 : _{n +} u_n = -
  • Si r = 0 : _{n +} u_n = u_0 (suite constante)

Exemple : Pour la suite arithmétique u_n = 2 + 3n (raison r = 3 > 0) :

[formule]

Pour la suite arithmétique v_n = 10 - 2n (raison r = -2 < 0) :

[formule]

2.2 Justification

Comme u_n = u_0 + nr, quand n tend vers + :

  • Si r > 0, le terme nr devient très grand positivement, donc u_n +
  • Si r < 0, le terme nr devient très grand négativement, donc u_n -
  • Si r = 0, la suite est constante égale à u_0

3. Limites des suites géométriques

3.1 Cas selon la valeur de la raison

Théorème : Soit (u_n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0 0.

  • Si |q| > 1 : _{n +} u_n = cases + & si u_0 > 0 et q > 1 - & si u_0 < 0 et q > 1 n'existe pas & si q < -1 cases

  • Si q = 1 : _{n +} u_n = u_0 (suite constante)

  • Si |q| < 1 : _{n +} u_n = 0

  • Si q = -1 : la suite n'a pas de limite (elle alterne entre u_0 et -u_0)

  • Si q -1 : la suite n'a pas de limite

Exemple : Pour u_n = 3 2^n (raison q = 2 > 1, u_0 = 3 > 0) :

[formule]

Pour v_n = 5 (1{2})^n (raison q = 1{2} < 1) :

[formule]

Pour w_n = 2 (-1)^n (raison q = -1) :

La suite alterne : 2, -2, 2, -2, donc elle n'a pas de limite.

3.2 Cas particuliers importants

Limites de référence :

  • Si |q| < 1 : _{n +} q^n = 0

  • Si q > 1 : _{n +} q^n = +

  • Si q = 1 : _{n +} q^n = 1

4. Applications pratiques

4.1 Suites définies par récurrence

Pour déterminer la limite d'une suite définie par récurrence, on peut parfois reconnaître qu'elle est arithmétique ou géométrique.

Exemple : Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 3.

On cherche une suite géométrique (v_n) de la forme v_n = u_n + telle que v_{n+1} = 2v_n.

On a : v_{n+1} = u_{n+1} + = 2u_n + 3 + = 2(u_n + ) + 3 - = 2v_n + 3 -

Pour que v_{n+1} = 2v_n, il faut 3 - = 0, donc = 3.

Ainsi v_n = u_n + 3 est géométrique de raison 2, donc v_n = (u_0 + 3) 2^n = 4 2^n.

Donc u_n = 4 2^n - 3 et _{n +} u_n = +.

4.2 Suites définies explicitement

Quand une suite est donnée explicitement, on peut directement appliquer les résultats sur les limites.

Exemple : Soit u_n = 3^n{2^n} = (3{2})^n.

Comme 3{2} > 1, on a :

[formule]

5. Opérations sur les limites

5.1 Limite d'une somme

Théorème : Si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M (où L et M sont des réels ou ), alors :

[formule]

(sous réserve que L + M ait un sens, en évitant les formes indéterminées + - )

Exemple : Si u_n = 2n + 1 et v_n = 3n - 2, alors :

[formule]

5.2 Limite d'un produit

Théorème : Si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M, alors :

[formule]

(sous réserve que L M ait un sens)

Exemple : Si u_n = 2^n et v_n = (1{2})^n, alors :

[formule]

5.3 Limite d'un quotient

Théorème : Si _{n +} u_n = L et _{n +} v_n = M 0, alors :

[formule]

6. Formes indéterminées

Certaines situations nécessitent une analyse plus approfondie :

Formes indéterminées :

      • : Il faut factoriser ou simplifier
  • 0 : Il faut transformer en quotient
  • {} : Il faut factoriser par le terme dominant
  • 0{0} : Il faut factoriser ou utiliser des techniques spéciales

Exemple : Calculer _{n +} (2^n - 3^n).

C'est une forme indéterminée + - . On factorise :

[formule]

Comme (2{3})^n 0, on a :

[formule]

À retenir

Résumé :

  1. Suite arithmétique : limite + si r > 0, - si r < 0, constante si r = 0.

  2. Suite géométrique :

    • |q| > 1 : limite infinie (sauf si q < -1 où il n'y a pas de limite)
    • |q| < 1 : limite 0
    • q = 1 : limite égale au premier terme
    • q = -1 : pas de limite

  3. Les opérations sur les limites fonctionnent si les limites existent et sont finies (sauf formes indéterminées).

  4. Les formes indéterminées nécessitent des techniques spéciales (factorisation, simplification).

Conseil pratique : Pour déterminer la limite d'une suite :

  1. Identifier le type de suite (arithmétique, géométrique, autre)
  2. Appliquer les théorèmes correspondants
  3. Si c'est une forme indéterminée, factoriser ou simplifier
  4. Vérifier le signe et la valeur de la raison pour les suites géométriques

Piège courant : Attention aux suites géométriques avec raison négative ! Si q = -1, la suite alterne et n'a pas de limite. Si q < -1, la suite diverge sans limite.