Calcul d'aires et applications
Introduction
Le calcul intégral permet de déterminer précisément l'aire de régions délimitées par des courbes. Cette application géométrique est fondamentale et trouve de nombreuses utilisations pratiques en physique, économie, et bien d'autres domaines.
1. Aire sous une courbe
1.1 Cas d'une fonction positive
Théorème : Si f est continue et positive sur [a, b], l'aire A de la région délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b est :
[formule]
Exemple : Calculer l'aire sous la courbe de f(x) = x^2 entre x = 0 et x = 2.
Comme f(x) 0 sur [0, 2], l'aire est :
[formule]
L'aire vaut 8{3} unités d'aire.
1.2 Cas d'une fonction négative
Théorème : Si f est continue et négative sur [a, b], l'aire A de la région est :
[formule]
Exemple : Calculer l'aire sous la courbe de f(x) = -x^2 entre x = 0 et x = 2.
Comme f(x) 0 sur [0, 2], l'aire est :
[formule]
1.3 Cas d'une fonction de signe variable
Méthode : Si f change de signe sur [a, b], il faut :
- Déterminer les points où f(x) = 0 (zéros de f)
- Décomposer l'intervalle en sous-intervalles où f garde un signe constant
- Calculer l'aire sur chaque sous-intervalle
- Additionner les aires (toujours positives)
Exemple : Calculer l'aire de la région délimitée par f(x) = x^2 - 1, l'axe des abscisses et les droites x = -1 et x = 2.
- Les zéros de f sont x = -1 et x = 1
- Sur [-1, 1] : f(x) 0 (courbe en-dessous de l'axe)
- Sur [1, 2] : f(x) 0 (courbe au-dessus de l'axe)
Aire totale :
[formule]
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[formule]
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2. Aire entre deux courbes
2.1 Principe général
Théorème : Si f et g sont continues sur [a, b] avec f(x) g(x) pour tout x [a, b], l'aire A de la région comprise entre les deux courbes est :
[formule]
Exemple : Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes y = x^2 et y = x entre x = 0 et x = 1.
Sur [0, 1], on a x x^2 (car x - x^2 = x(1-x) 0).
L'aire est :
[formule]
2.2 Cas où les courbes se croisent
Méthode : Si les courbes se croisent sur [a, b] :
- Trouver les points d'intersection en résolvant f(x) = g(x)
- Décomposer l'intervalle en sous-intervalles où on sait quelle fonction est au-dessus
- Calculer l'aire sur chaque sous-intervalle avec |f(x) - g(x)| , dx
- Additionner les résultats
Exemple : Calculer l'aire de la région délimitée par y = x^2 et y = 2x.
- Points d'intersection : x^2 = 2x x(x-2) = 0, donc x = 0 ou x = 2
- Sur [0, 2] : 2x x^2 (vérification : 2x - x^2 = x(2-x) 0)
L'aire est :
[formule]
3. Applications pratiques
3.1 Calcul de volumes de révolution
Théorème : Le volume V engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la région sous la courbe y = f(x) (avec f 0) entre x = a et x = b est :
[formule]
Exemple : Calculer le volume engendré par la rotation de y = x autour de l'axe des abscisses entre x = 0 et x = 2.
[formule]
3.2 Valeur moyenne et applications
La valeur moyenne d'une fonction peut représenter :
- La température moyenne sur une période
- Le revenu moyen sur une période
- La vitesse moyenne d'un mobile
Exemple : Un mobile se déplace selon la loi v(t) = 3t^2 + 2 (en m/s) entre t = 0 et t = 3 secondes.
La vitesse moyenne est :
[formule]
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3.3 Calcul de distances parcourues
Si v(t) est la vitesse d'un mobile, la distance parcourue entre t = a et t = b est :
[formule]
Exemple : Un mobile a une vitesse v(t) = t^2 - 4 entre t = 0 et t = 3.
La distance parcourue est :
[formule]
Sur [0, 2] : t^2 - 4 0, donc |t^2 - 4| = 4 - t^2
Sur [2, 3] : t^2 - 4 0, donc |t^2 - 4| = t^2 - 4
[formule]
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4. Techniques de calcul
4.1 Utilisation de la symétrie
Si une fonction est paire ou impaire, on peut simplifier les calculs.
Exemple : Calculer _{-2}^2 x^2 , dx.
Comme f(x) = x^2 est paire :
[formule]
4.2 Décomposition en fractions simples
Pour certaines fonctions rationnelles, la décomposition facilite l'intégration.
Exemple : Calculer _0^1 1{x^2 + x} , dx.
On décompose : 1{x^2 + x} = 1{x(x+1)} = 1{x} - 1{x+1}
[formule]
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Cette intégrale diverge (borne inférieure problématique).
À retenir
Résumé :
Pour une fonction positive : aire = _a^b f(x) , dx
Pour une fonction négative : aire = -_a^b f(x) , dx
Entre deux courbes : aire = _a^b |f(x) - g(x)| , dx
Volume de révolution : V = _a^b [f(x)]^2 , dx
Toujours vérifier les signes et décomposer si nécessaire.
Conseil pratique : Pour calculer une aire :
- Faire un croquis de la situation
- Identifier les bornes et les fonctions
- Déterminer les signes sur chaque intervalle
- Décomposer si les fonctions changent de signe ou se croisent
- Calculer les intégrales et additionner les aires (toujours positives)
Piège courant : Ne pas confondre l'intégrale (qui peut être négative) avec l'aire (toujours positive). Si une fonction est négative, il faut prendre l'opposé de l'intégrale pour obtenir l'aire.