Intégrale d'une fonction continue

Introduction

L'intégrale d'une fonction est un concept fondamental qui permet de calculer des aires, des volumes, des valeurs moyennes et bien d'autres quantités. Elle est définie à partir de la notion de primitive et constitue l'outil principal du calcul intégral.

1. Définition de l'intégrale

1.1 Intégrale définie

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et F une primitive de f sur [a, b]. On appelle intégrale de f entre a et b le nombre :

[formule]

Ce nombre ne dépend pas du choix de la primitive F (car les primitives diffèrent d'une constante qui s'annule dans la différence).

Exemple : Calculer _0^2 x^2 , dx.

Une primitive de f(x) = x^2 est F(x) = x^3{3}.

Donc :

[formule]

1.2 Notation et terminologie

Dans l'écriture _a^b f(x) , dx :

• a est la borne inférieure
• b est la borne supérieure
• f(x) est la fonction à intégrer (ou intégrande)
• dx indique que la variable d'intégration est x
• Le symbole est le signe intégral

2. Propriétés fondamentales

2.1 Linéarité

Théorème : Pour toutes fonctions continues f et g sur [a, b], et pour tout réel k :

• Somme : _a^b [f(x) + g(x)] , dx = _a^b f(x) , dx + _a^b g(x) , dx

• Multiplication par une constante : _a^b k f(x) , dx = k _a^b f(x) , dx

Exemple : Calculer _0^1 (3x^2 + 2x) , dx.

On décompose :

[formule]

[formule]

[formule]

2.2 Relation de Chasles

Théorème de Chasles : Pour toute fonction continue f sur un intervalle contenant a, b et c :

[formule]

Exemple : Si _0^2 f(x) , dx = 5 et _2^5 f(x) , dx = 3, alors :

[formule]

2.3 Inversion des bornes

Théorème : Pour toute fonction continue f sur [a, b] :

[formule]

Exemple : [formule]

2.4 Intégrale nulle

Théorème : Pour toute fonction continue f :

[formule]

3. Positivité et comparaison

3.1 Positivité de l'intégrale

Théorème : Si f est continue et positive sur [a, b] avec a b, alors :

[formule]

De plus, si f est strictement positive, alors l'intégrale est strictement positive.

Exemple : Comme x^2 0 pour tout x, on a :

[formule]

En calculant : {-1}^1 x^2 , dx = [x^3{3}]{-1}^1 = 1{3} - (-1{3}) = 2{3} > 0 ✓

3.2 Comparaison d'intégrales

Théorème : Si f et g sont continues sur [a, b] avec a b et si f(x) g(x) pour tout x [a, b], alors :

[formule]

Exemple : Sur [0, 1], on a x^2 x (car x^2 - x = x(x-1) 0 pour x [0,1]).

Donc :

[formule]

Vérification : 1{3} 1{2} ✓

4. Valeur moyenne d'une fonction

4.1 Définition

Définition : Soit f une fonction continue sur [a, b]. La valeur moyenne de f sur [a, b] est :

[formule]

Exemple : Calculer la valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [0, 2].

[formule]

4.2 Interprétation géométrique

La valeur moyenne correspond à la hauteur d'un rectangle de base b-a ayant la même aire que celle sous la courbe.

5. Calcul pratique d'intégrales

5.1 Méthode générale

Méthode de calcul : Pour calculer _a^b f(x) , dx :

1. Trouver une primitive F de f
2. Calculer F(b) - F(a)
3. Simplifier le résultat

Exemple : Calculer _1^3 (2x + 1) , dx.

1. Une primitive de 2x + 1 est F(x) = x^2 + x
2. F(3) - F(1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10
3. Donc _1^3 (2x + 1) , dx = 10

5.2 Intégrales avec fonctions composées

Pour les fonctions de la forme f(u(x)) u'(x), on utilise une primitive de la forme F(u(x)).

Exemple : Calculer _0^1 2x e^{x^2} , dx.

On reconnaît u(x) = x^2 et u'(x) = 2x. Une primitive de 2x e^{x^2} est e^{x^2}.

Donc :

[formule]

6. Intégrales et aires

6.1 Interprétation géométrique

Théorème : Si f est continue et positive sur [a, b], alors _a^b f(x) , dx représente l'aire (en unités d'aire) de la région délimitée par :

• La courbe représentative de f
• L'axe des abscisses
• Les droites verticales x = a et x = b

Exemple : L'intégrale _0^2 x , dx = [x^2{2}]_0^2 = 2 représente l'aire du triangle rectangle de sommets (0,0), (2,0) et (2,2).

Vérification géométrique : 1{2} 2 2 = 2 ✓

6.2 Fonctions négatives

Si f est négative sur [a, b], alors _a^b f(x) , dx est négative et représente l'opposé de l'aire.

Exemple : Pour f(x) = -x sur [0, 2] :

[formule]

L'aire de la région est 2 (positive), mais l'intégrale vaut -2.

À retenir

Résumé :

1. L'intégrale _a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) où F est une primitive de f.

2. L'intégrale est linéaire : (f+g) = f + g et kf = k f.

3. Relation de Chasles : _a^b + _b^c = _a^c.

4. Si f 0 sur [a,b] avec a b, alors _a^b f 0.

5. L'intégrale d'une fonction positive représente une aire.

Conseil pratique : Pour calculer une intégrale :

1. Vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle
2. Trouver une primitive (utiliser le tableau de référence)
3. Calculer la différence aux bornes
4. Vérifier le signe du résultat selon le contexte

Piège courant : Attention à l'ordre des bornes ! Si a > b, l'intégrale change de signe. Vérifier aussi que la fonction est bien continue sur tout l'intervalle.