Notion de primitive

Intégration — Terminale Maths Complémentaires

Notion de primitive

Introduction

La notion de primitive est fondamentale en analyse. Elle permet de "remonter" d'une fonction à une autre dont elle serait la dérivée. Cette opération inverse de la dérivation est à la base du calcul intégral et de nombreuses applications pratiques.

1. Définition d'une primitive

1.1 Définition formelle

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que :

[formule]

Exemple simple : Soit f(x) = 2x. Une primitive de f est F(x) = x^2 car :

[formule]

Mais F(x) = x^2 + 5 est aussi une primitive de f car :

[formule]

1.2 Unicité et famille de primitives

Théorème : Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme :

[formule]

Exemple : Les primitives de f(x) = 3x^2 sont toutes les fonctions de la forme :

[formule]

En effet, (x^3 + C)' = 3x^2 pour toute constante C.

2. Primitives des fonctions usuelles

2.1 Tableau des primitives de référence

Primitives à connaître : Pour les fonctions usuelles, on a :

Fonction f(x) Primitive F(x) Condition
k (constante) kx + C x R
x^n x^{n+1}{n+1} + C n -1, x R
1{x} x
e^x e^x + C x R
(x) -(x) + C x R
(x) (x) + C x R
1{x^2 + 1} (x) + C x R
1{1-x^2} (x) + C x ]-1, 1[

Attention :

  • Pour f(x) = x^n avec n = -1, on utilise |x| et non x^0{0} qui n'a pas de sens.
  • La constante C est importante : elle représente toutes les primitives possibles.

2.2 Primitives de fonctions composées

Primitives avec fonctions composées : Si F est une primitive de f, alors pour une fonction u dérivable :

  • f(u(x)) u'(x) a pour primitive F(u(x)) + C

En particulier :

  • (u(x))^n u'(x) a pour primitive (u(x))^{n+1}{n+1} + C (si n -1)
  • u'(x){u(x)} a pour primitive |u(x)| + C (si u(x) 0)
  • u'(x) e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)} + C

Exemple : Soit f(x) = 2x e^{x^2}. On reconnaît u(x) = x^2 et u'(x) = 2x.

Donc f(x) = u'(x) e^{u(x)}, et une primitive est :

[formule]

3. Linéarité des primitives

3.1 Primitives d'une somme

Théorème : Si F est une primitive de f et G est une primitive de g sur un intervalle I, alors :

  • F + G est une primitive de f + g
  • kF est une primitive de kf (où k est une constante)

En résumé, les primitives sont linéaires.

Exemple : Trouver une primitive de f(x) = 3x^2 + 2x - 5.

On décompose :

  • Une primitive de 3x^2 est x^3
  • Une primitive de 2x est x^2
  • Une primitive de -5 est -5x

Donc une primitive de f est :

[formule]

4. Détermination d'une primitive particulière

4.1 Condition initiale

Parfois, on cherche une primitive qui vérifie une condition particulière, ce qui permet de déterminer la constante C.

Méthode : Pour déterminer la primitive F de f telle que F(a) = b :

  1. Trouver toutes les primitives : F(x) = G(x) + C
  2. Utiliser la condition : F(a) = G(a) + C = b
  3. En déduire : C = b - G(a)
  4. Conclure : F(x) = G(x) + b - G(a)

Exemple : Trouver la primitive F de f(x) = 2x telle que F(1) = 3.

  1. Toutes les primitives sont : F(x) = x^2 + C
  2. On utilise F(1) = 3 : 1^2 + C = 3
  3. Donc C = 2
  4. La primitive cherchée est : F(x) = x^2 + 2

Vérification : F(1) = 1 + 2 = 3 ✓

5. Existence des primitives

5.1 Théorème fondamental

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Attention : Si une fonction n'est pas continue, elle peut ne pas avoir de primitive. Par exemple, la fonction partie entière n'a pas de primitive sur R.

5.2 Intervalle de définition

Important : Les primitives sont toujours définies sur un intervalle. Si une fonction est définie sur plusieurs intervalles disjoints, elle peut avoir des primitives différentes sur chaque intervalle.

Exemple : Pour f(x) = 1{x} définie sur R^* :

  • Sur ]0, +[ : les primitives sont (x) + C_1
  • Sur ]-, 0[ : les primitives sont (-x) + C_2

Les constantes C_1 et C_2 peuvent être différentes.

6. Applications pratiques

6.1 Résolution d'équations différentielles simples

Les primitives permettent de résoudre certaines équations différentielles.

Exemple : Résoudre l'équation différentielle y' = 2x avec la condition y(0) = 1.

La solution est une primitive de f(x) = 2x : y(x) = x^2 + C

Avec y(0) = 1, on trouve C = 1, donc :

[formule]

6.2 Calcul de variations

Si on connaît la dérivée d'une fonction, les primitives permettent de retrouver la fonction.

Exemple : Si f'(x) = 3x^2 - 2x et f(0) = 5, alors :

[formule]

Avec f(0) = 5, on trouve C = 5, donc :

[formule]

À retenir

Résumé :

  1. Une primitive F de f vérifie F' = f.

  2. Si F est une primitive, alors F + C (avec C constante) est aussi une primitive.

  3. Les primitives des fonctions usuelles doivent être connues par cœur.

  4. Les primitives sont linéaires : primitive de f + g = primitive de f + primitive de g.

  5. Toute [[fonction-continue|fonction continue]] admet des primitives.

Conseil pratique : Pour trouver une primitive :

  1. Identifier le type de fonction (polynôme, rationnelle, [[fonction-exponentielle|exponentielle]], etc.)
  2. Utiliser le tableau des primitives usuelles
  3. Appliquer la linéarité si nécessaire
  4. Vérifier en dérivant le résultat
  5. Ajouter la constante C sauf si une condition initiale est donnée

Piège courant : Ne pas oublier la constante C ! Une primitive n'est jamais unique, sauf si une condition initiale est imposée.