Notion de primitive

Intégration — Terminale Maths Complémentaires

Notion de primitive

Introduction

La notion de primitive est fondamentale en analyse. Elle permet de "remonter" d'une fonction à une autre dont elle serait la dérivée. Cette opération inverse de la dérivation est à la base du calcul intégral et de nombreuses applications pratiques.

1. Définition d'une primitive

1.1 Définition formelle

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que :

[formule]

Exemple simple : Soit f(x) = 2x. Une primitive de f est F(x) = x^2 car :

[formule]

Mais F(x) = x^2 + 5 est aussi une primitive de f car :

[formule]

1.2 Unicité et famille de primitives

Théorème : Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme :

[formule]

Exemple : Les primitives de f(x) = 3x^2 sont toutes les fonctions de la forme :

[formule]

En effet, (x^3 + C)' = 3x^2 pour toute constante C.

2. Primitives des fonctions usuelles

2.1 Tableau des primitives de référence

Primitives à connaître : Pour les fonctions usuelles, on a :

Fonction f(x) Primitive F(x) Condition
k (constante) kx + C x R
x^n x^{n+1}{n+1} + C n -1, x R
1{x} x
e^x e^x + C x R
(x) -(x) + C x R
(x) (x) + C x R
1{x^2 + 1} (x) + C x R
1{1-x^2} (x) + C x ]-1, 1[

Attention :

  • Pour f(x) = x^n avec n = -1, on utilise |x| et non x^0{0} qui n'a pas de sens.
  • La constante C est importante : elle représente toutes les primitives possibles.

2.2 Primitives de fonctions composées

Primitives avec fonctions composées : Si F est une primitive de f, alors pour une fonction u dérivable :

  • f(u(x)) u'(x) a pour primitive F(u(x)) + C

En particulier :

  • (u(x))^n u'(x) a pour primitive (u(x))^{n+1}{n+1} + C (si n -1)
  • u'(x){u(x)} a pour primitive |u(x)| + C (si u(x) 0)
  • u'(x) e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)} + C

Exemple : Soit f(x) = 2x e^{x^2}. On reconnaît u(x) = x^2 et u'(x) = 2x.

Donc f(x) = u'(x) e^{u(x)}, et une primitive est :

[formule]

3. Linéarité des primitives

3.1 Primitives d'une somme

Théorème : Si F est une primitive de f et G est une primitive de g sur un intervalle I, alors :

  • F + G est une primitive de f + g
  • kF est une primitive de kf (où k est une constante)

En résumé, les primitives sont linéaires.

Exemple : Trouver une primitive de f(x) = 3x^2 + 2x - 5.

On décompose :

  • Une primitive de 3x^2 est x^3
  • Une primitive de 2x est x^2
  • Une primitive de -5 est -5x

Donc une primitive de f est :

[formule]

4. Détermination d'une primitive particulière

4.1 Condition initiale

Parfois, on cherche une primitive qui vérifie une condition particulière, ce qui permet de déterminer la constante C.

Méthode : Pour déterminer la primitive F de f telle que F(a) = b :

  1. Trouver toutes les primitives : F(x) = G(x) + C
  2. Utiliser la condition : F(a) = G(a) + C = b
  3. En déduire : C = b - G(a)
  4. Conclure : F(x) = G(x) + b - G(a)

Exemple : Trouver la primitive F de f(x) = 2x telle que F(1) = 3.

  1. Toutes les primitives sont : F(x) = x^2 + C
  2. On utilise F(1) = 3 : 1^2 + C = 3
  3. Donc C = 2
  4. La primitive cherchée est : F(x) = x^2 + 2

Vérification : F(1) = 1 + 2 = 3 ✓

5. Existence des primitives

5.1 Théorème fondamental

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Attention : Si une fonction n'est pas continue, elle peut ne pas avoir de primitive. Par exemple, la fonction partie entière n'a pas de primitive sur R.

5.2 Intervalle de définition

Important : Les primitives sont toujours définies sur un intervalle. Si une fonction est définie sur plusieurs intervalles disjoints, elle peut avoir des primitives différentes sur chaque intervalle.

Exemple : Pour f(x) = 1{x} définie sur R^* :

  • Sur ]0, +[ : les primitives sont (x) + C_1
  • Sur ]-, 0[ : les primitives sont (-x) + C_2

Les constantes C_1 et C_2 peuvent être différentes.

6. Applications pratiques

6.1 Résolution d'équations différentielles simples

Les primitives permettent de résoudre certaines équations différentielles.

Exemple : Résoudre l'équation différentielle y' = 2x avec la condition y(0) = 1.

La solution est une primitive de f(x) = 2x : y(x) = x^2 + C

Avec y(0) = 1, on trouve C = 1, donc :

[formule]

6.2 Calcul de variations

Si on connaît la dérivée d'une fonction, les primitives permettent de retrouver la fonction.

Exemple : Si f'(x) = 3x^2 - 2x et f(0) = 5, alors :

[formule]

Avec f(0) = 5, on trouve C = 5, donc :

[formule]

À retenir

Résumé :

  1. Une primitive F de f vérifie F' = f.

  2. Si F est une primitive, alors F + C (avec C constante) est aussi une primitive.

  3. Les primitives des fonctions usuelles doivent être connues par cœur.

  4. Les primitives sont linéaires : primitive de f + g = primitive de f + primitive de g.

  5. Toute fonction continue admet des primitives.

Conseil pratique : Pour trouver une primitive :

  1. Identifier le type de fonction (polynôme, rationnelle, exponentielle, etc.)
  2. Utiliser le tableau des primitives usuelles
  3. Appliquer la linéarité si nécessaire
  4. Vérifier en dérivant le résultat
  5. Ajouter la constante C sauf si une condition initiale est donnée

Piège courant : Ne pas oublier la constante C ! Une primitive n'est jamais unique, sauf si une condition initiale est imposée.