Applications du logarithme

Introduction

Le logarithme népérien trouve de nombreuses applications pratiques dans divers domaines : résolution d'équations exponentielles, modélisation de phénomènes naturels (croissance démographique, pH, décibels), et résolution d'inéquations. Cette leçon présente les principales applications concrètes.

1. Résolution d'équations exponentielles

1.1 Équations de la forme a^x = b

Méthode : Pour résoudre une équation de la forme a^x = b avec a > 0, a 1 et b > 0 :

Prendre le logarithme népérien des deux membres : (a^x) = (b)
Utiliser la propriété (a^x) = x (a) : x (a) = (b)
Isoler x : x = (b){(a)}

Exemple : Résoudre 2^x = 8 :

[formule]

On vérifie : 2^3 = 8 ✓

Exemple : Résoudre 3^{x+1} = 27 :

[formule]

1.2 Équations plus complexes

Exemple : Résoudre e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 :

On pose X = e^x (avec X > 0). L'équation devient :

[formule]

Le discriminant est = 9 - 8 = 1, donc :

[formule]

Donc X = 2 ou X = 1.

Si X = 2, alors e^x = 2, donc x = (2)
Si X = 1, alors e^x = 1, donc x = (1) = 0

Les solutions sont x = 0 et x = (2).

2. Modélisation de la croissance démographique

2.1 Modèle exponentiel

Modèle de croissance exponentielle : Un phénomène suit une croissance exponentielle si sa quantité N(t) au temps t vérifie :

[formule]

où :

N_0 est la quantité initiale (à t = 0)
r est le taux de croissance (constant)
t est le temps

Exemple : population de bactéries : Une culture de bactéries contient initialement 1000 bactéries. Le nombre de bactéries double toutes les 2 heures.

1. Déterminer le modèle mathématique :

On cherche N(t) = N_0 e^{rt} avec N_0 = 1000.

Comme N(2) = 2N_0 = 2000, on a :

[formule]

Donc N(t) = 1000 e^{(2){2}t} = 1000 2^{t/2}

2. Calculer le nombre de bactéries après 6 heures :

[formule]

3. Déterminer le temps nécessaire pour atteindre 50000 bactéries :

[formule]

2.2 Temps de doublement

Définition : Le temps de doublement T d'un phénomène exponentiel est le temps nécessaire pour que la quantité double.

Si N(t) = N_0 e^{rt}, alors T = (2){r}.

Exemple : Pour une population qui croît selon N(t) = 1000 e^{0,05t} :

Le temps de doublement est :

[formule]

3. Application au pH (chimie)

3.1 Définition du pH

Définition du pH : Le pH d'une solution mesure son acidité. Il est défini par :

[formule]

où [H^+] est la concentration en ions hydrogène (en mol/L).

Exemples :

Eau pure : [H^+] = 10^{-7} mol/L, donc pH = -_{10}(10^{-7}) = 7
Solution acide : [H^+] = 10^{-3} mol/L, donc pH = 3
Solution basique : [H^+] = 10^{-11} mol/L, donc pH = 11

3.2 Calcul de la concentration à partir du pH

Méthode : Pour calculer [H^+] à partir du pH :

[formule]

En utilisant le logarithme népérien :

[formule]

Exemple : Si le pH d'une solution est 4,5, calculer [H^+] :

[formule]

4. Application aux décibels (acoustique)

4.1 Définition des décibels

Niveau sonore en décibels : Le niveau sonore L (en décibels, dB) est défini par :

[formule]

où :

I est l'intensité sonore mesurée (en W/m²)
I_0 = 10^{-12} W/m² est le seuil d'audition

Exemple : Calculer le niveau sonore pour une intensité I = 10^{-6} W/m² :

[formule]

4.2 Calcul de l'intensité à partir des décibels

Méthode : Pour calculer I à partir de L :

[formule]

Exemple : Quelle intensité correspond à 90 dB ?

[formule]

5. Résolution d'inéquations logarithmiques

5.1 Inéquations simples

Méthode : Pour résoudre une inéquation de la forme (f(x)) < (g(x)) :

Vérifier que f(x) > 0 et g(x) > 0
Utiliser la croissance de : (f(x)) < (g(x)) f(x) < g(x)
Résoudre l'inéquation obtenue
Faire l'intersection avec les conditions d'existence

Exemple : Résoudre (x + 1) < (2x - 3) :

Conditions d'existence :

x + 1 > 0 x > -1
2x - 3 > 0 x > 3{2}

Donc x > 3{2}.

Résolution : [formule]

Solution : L'intersection de x > 3{2} et x > 4 donne x > 4.

Donc S = ]4, +[.

5.2 Inéquations avec constantes

Exemple : Résoudre (x^2 - 4) 0 :

Condition d'existence : x^2 - 4 > 0 x < -2 ou x > 2

Résolution : [formule]

Donc x -5 ou x 5.

Solution : En faisant l'intersection avec les conditions :

x -5 et (x < -2 ou x > 2) donne x -5
x 5 et (x < -2 ou x > 2) donne x 5

Donc S = ]-, -5] [5, +[.

5.3 Inéquations avec paramètres

Exemple : Résoudre (x) < a où a est un réel :

Condition : x > 0

Résolution : [formule]

Solution : S = ]0, e^a[ (si e^a > 0, ce qui est toujours vrai).

6. Applications financières

6.1 Intérêts composés continus

Capitalisation continue : Si un capital C_0 est placé à un taux annuel r (en décimal) avec capitalisation continue, le capital après t années est :

[formule]

Exemple : Un capital de 1000€ est placé à un taux annuel de 5% avec capitalisation continue.

1. Calculer le capital après 10 ans :

[formule]

2. Déterminer le temps nécessaire pour doubler le capital :

[formule]

À retenir

Résumé des applications :

Équations exponentielles : Utiliser pour "faire descendre" l'exposant
Croissance exponentielle : N(t) = N_0 e^{rt}, temps de doublement T = (2){r}
pH : pH = -_{10}([H^+]) et [H^+] = 10^{-pH}
Décibels : L = 10 _{10}(I{I_0}) et I = I_0 10^{L/10}
Inéquations : (f(x)) < (g(x)) f(x) < g(x) (si f(x) > 0 et g(x) > 0)
Finance : Capitalisation continue C(t) = C_0 e^{rt}

Conseils pratiques :

Pour résoudre a^x = b, prendre le logarithme des deux membres
Toujours vérifier les conditions d'existence avant de résoudre
Les applications pratiques nécessitent souvent des conversions entre _{10} et
Utiliser les propriétés du logarithme pour simplifier les calculs

Points d'attention :

Ne pas oublier les conditions d'existence : (x) existe seulement si x > 0
Pour les inéquations, faire l'intersection avec le domaine de définition
Vérifier que les solutions trouvées sont cohérentes avec le contexte (temps positif, concentrations positives, etc.)