Dérivée et étude de la fonction logarithme

Fonction logarithme — Terminale Maths Complémentaires

Dérivée et étude de la fonction logarithme

Introduction

Dans cette leçon, nous étudions la dérivabilité de la fonction logarithme népérien et ses applications. La dérivée du logarithme est particulièrement importante car elle permet d'étudier les variations de fonctions plus complexes faisant intervenir .

1. Dérivée de la fonction logarithme

1.1 Dérivée de ln(x)

Théorème fondamental : La fonction est dérivable sur ]0, +[ et pour tout x > 0 :

[formule]

Cette formule est fondamentale et doit être connue par cœur.

Exemples :

  • Si f(x) = (x), alors f'(x) = 1{x}
  • Si f(x) = (5), alors f'(x) = 0 (constante)
  • La dérivée de (x) en x = 2 vaut 1{2} = 0,5

Mémoire : Pour retenir : "La dérivée du logarithme, c'est l'inverse de la variable."

'(x) = 1{x} ressemble à "un sur x".

1.2 Dérivée de ln(u(x))

Théorème : dérivée d'une fonction composée : Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction x (u(x)) est dérivable sur I et :

[formule]

Cette formule est très utile pour dériver des fonctions logarithmiques composées.

Exemples : 1. Dériver f(x) = (2x + 1) :

On a u(x) = 2x + 1 et u'(x) = 2. Donc :

[formule]

2. Dériver f(x) = (x^2 + 3) :

On a u(x) = x^2 + 3 et u'(x) = 2x. Donc :

[formule]

3. Dériver f(x) = (e^x + 1) :

On a u(x) = e^x + 1 et u'(x) = e^x. Donc :

[formule]

Attention : Il faut toujours vérifier que u(x) > 0 sur l'intervalle considéré pour que (u(x)) soit définie.

2. Dérivées de fonctions plus complexes

2.1 Produit avec un logarithme

Méthode : Pour dériver f(x) = g(x) (h(x)), on utilise la formule du produit :

[formule]

avec u(x) = g(x) et v(x) = (h(x)).

Exemple : Dériver f(x) = x (x) :

On pose u(x) = x et v(x) = (x).

  • u'(x) = 1
  • v'(x) = 1{x}

Donc :

[formule]

2.2 Quotient avec un logarithme

Exemple : Dériver f(x) = (x){x} :

On utilise la formule du quotient : (u{v})' = u'v - uv'{v^2}

Avec u(x) = (x) et v(x) = x :

  • u'(x) = 1{x}
  • v'(x) = 1

Donc :

[formule]

2.3 Logarithme d'une puissance

Exemple : Dériver f(x) = (x^3) :

Méthode 1 : On simplifie d'abord : f(x) = 3(x), donc f'(x) = 3{x}

Méthode 2 : On utilise la formule [(u)]' = u'{u} avec u(x) = x^3 :

[formule]

Les deux méthodes donnent le même résultat !

3. Étude de fonctions logarithmiques

3.1 Fonction f(x) = ln(x)

Étude complète : Pour la fonction f(x) = (x) définie sur ]0, +[ :

  • Dérivée : f'(x) = 1{x} > 0 pour tout x > 0
  • Sens de variation : f est strictement croissante sur ]0, +[
  • Limites :
    • _{x 0^+} (x) = -
    • _{x +} (x) = +
  • Tableau de variations : toujours croissante

3.2 Fonction f(x) = ln(ax + b)

Méthode d'étude : Pour étudier f(x) = (ax + b) avec a 0 :

  1. Domaine de définition : ax + b > 0 x > -b{a} (si a > 0) ou x < -b{a} (si a < 0)

  2. Dérivée : f'(x) = a{ax + b}

  3. Signe de la dérivée : dépend du signe de a et de ax + b

  4. Variations : déterminées par le signe de f'

Exemple : Étudier f(x) = (2x - 4) :

  1. Domaine : 2x - 4 > 0 x > 2. Donc D_f = ]2, +[

  2. Dérivée : f'(x) = 2{2x - 4} = 1{x - 2} > 0 sur ]2, +[

  3. Variations : f est strictement croissante sur ]2, +[

  4. Limites :

    • _{x 2^+} (2x - 4) = _{X 0^+} (X) = -
    • _{x +} (2x - 4) = +

3.3 Fonction f(x) = x ln(x)

Exemple complet : Étudier f(x) = x (x) sur ]0, +[ :

  1. Domaine : ]0, +[

  2. Dérivée : f'(x) = (x) + 1 (calculé précédemment)

  3. Signe de la dérivée :

    • f'(x) = 0 (x) + 1 = 0 (x) = -1 x = e^{-1} = 1{e}
    • f'(x) > 0 (x) > -1 x > 1{e}
    • f'(x) < 0 0 < x < 1{e}

  4. Tableau de variations :

    • f est décroissante sur ]0, 1{e}]
    • f est croissante sur [1{e}, +[
    • Minimum en x = 1{e} avec f(1{e}) = -1{e}

  5. Limites :

    • _{x 0^+} x (x) = 0 (limite classique)
    • _{x +} x (x) = +

4. Limites classiques avec le logarithme

4.1 Limites fondamentales

Limites à connaître :

  • _{x 0^+} x (x) = 0
  • _{x +} (x){x} = 0
  • _{x +} (x){x^n} = 0 pour tout n > 0
  • _{x 0^+} x^n (x) = 0 pour tout n > 0

Interprétation : Ces limites montrent que le logarithme croît beaucoup plus lentement que les puissances de x.

Par exemple, x^{100} croît beaucoup plus vite que (x) quand x tend vers +.

4.2 Formes indéterminées

Méthode : Pour lever des formes indéterminées avec , on peut utiliser :

  • Les propriétés algébriques du logarithme
  • Les limites classiques ci-dessus
  • Le théorème de croissance comparée

Exemple : Calculer _{x +} (x^2 + 1){x} :

On a une forme indéterminée +{+}.

On peut écrire : (x^2 + 1) = (x^2(1 + 1{x^2})) = 2(x) + (1 + 1{x^2})

Donc :

[formule]

Quand x + :

  • 2(x){x} 0 (limite classique)
  • (1 + {1{x^2})}{x} 0

Donc la limite est 0.

5. Tangente à la courbe

5.1 Équation de la tangente

Méthode : Pour trouver l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse a > 0 :

  1. Calculer f(a) = (a)
  2. Calculer f'(a) = 1{a}
  3. Écrire l'équation : y = f'(a)(x - a) + f(a)

Exemple : Équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse e :

  • f(e) = (e) = 1
  • f'(e) = 1{e}

L'équation de la tangente est :

[formule]

Donc y = x{e}.

À retenir

Résumé :

  1. Dérivée fondamentale : '(x) = 1{x} pour x > 0

  2. Dérivée composée : [(u(x))]' = u'(x){u(x)} (si u(x) > 0)

  3. Variations : La fonction est strictement croissante sur ]0, +[

  4. Limites classiques :

    • _{x 0^+} x (x) = 0
    • _{x +} (x){x} = 0

  5. Étude de fonctions : Utiliser la dérivée pour déterminer les variations et les extremums

Conseils pratiques :

  • Pour dériver (u(x)), pense à la formule : "dérivée de u sur u"
  • Toujours vérifier que l'argument du logarithme est strictement positif
  • Les limites avec nécessitent souvent des manipulations algébriques
  • Utilise les propriétés du logarithme pour simplifier avant de dériver

Erreurs fréquentes :

  • Ne pas oublier de vérifier le domaine de définition avant de dériver
  • '(x) = 1{x} et non x ou 1{(x)}
  • Pour (u(x)), la dérivée est u'(x){u(x)} et non u'(x){(u(x))}