Dérivée et étude de la fonction logarithme

Fonction logarithme — Terminale Maths Complémentaires

Dérivée et étude de la fonction logarithme

Introduction

Dans cette leçon, nous étudions la dérivabilité de la fonction [[fonction-logarithme|logarithme népérien]] et ses applications. La dérivée du logarithme est particulièrement importante car elle permet d'étudier les variations de fonctions plus complexes faisant intervenir .

1. Dérivée de la fonction logarithme

1.1 Dérivée de ln(x)

Théorème fondamental : La fonction est dérivable sur ]0, +[ et pour tout x > 0 :

[formule]

Cette formule est fondamentale et doit être connue par cœur.

Exemples :

  • Si f(x) = (x), alors f'(x) = 1{x}
  • Si f(x) = (5), alors f'(x) = 0 (constante)
  • La dérivée de (x) en x = 2 vaut 1{2} = 0,5

Mémoire : Pour retenir : "La dérivée du logarithme, c'est l'inverse de la variable."

'(x) = 1{x} ressemble à "un sur x".

1.2 Dérivée de ln(u(x))

Théorème : dérivée d'une fonction composée : Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction x (u(x)) est dérivable sur I et :

[formule]

Cette formule est très utile pour dériver des fonctions logarithmiques composées.

Exemples : 1. Dériver f(x) = (2x + 1) :

On a u(x) = 2x + 1 et u'(x) = 2. Donc :

[formule]

2. Dériver f(x) = (x^2 + 3) :

On a u(x) = x^2 + 3 et u'(x) = 2x. Donc :

[formule]

3. Dériver f(x) = (e^x + 1) :

On a u(x) = e^x + 1 et u'(x) = e^x. Donc :

[formule]

Attention : Il faut toujours vérifier que u(x) > 0 sur l'intervalle considéré pour que (u(x)) soit définie.

2. Dérivées de fonctions plus complexes

2.1 Produit avec un logarithme

Méthode : Pour dériver f(x) = g(x) (h(x)), on utilise la formule du produit :

[formule]

avec u(x) = g(x) et v(x) = (h(x)).

Exemple : Dériver f(x) = x (x) :

On pose u(x) = x et v(x) = (x).

  • u'(x) = 1
  • v'(x) = 1{x}

Donc :

[formule]

2.2 Quotient avec un logarithme

Exemple : Dériver f(x) = (x){x} :

On utilise la formule du quotient : (u{v})' = u'v - uv'{v^2}

Avec u(x) = (x) et v(x) = x :

  • u'(x) = 1{x}
  • v'(x) = 1

Donc :

[formule]

2.3 Logarithme d'une puissance

Exemple : Dériver f(x) = (x^3) :

Méthode 1 : On simplifie d'abord : f(x) = 3(x), donc f'(x) = 3{x}

Méthode 2 : On utilise la formule [(u)]' = u'{u} avec u(x) = x^3 :

[formule]

Les deux méthodes donnent le même résultat !

3. Étude de fonctions logarithmiques

3.1 Fonction f(x) = ln(x)

Étude complète : Pour la fonction f(x) = (x) définie sur ]0, +[ :

  • Dérivée : f'(x) = 1{x} > 0 pour tout x > 0
  • Sens de variation : f est strictement croissante sur ]0, +[
  • Limites :
    • _{x 0^+} (x) = -
    • _{x +} (x) = +
  • Tableau de variations : toujours croissante

3.2 Fonction f(x) = ln(ax + b)

Méthode d'étude : Pour étudier f(x) = (ax + b) avec a 0 :

  1. Domaine de définition : ax + b > 0 x > -b{a} (si a > 0) ou x < -b{a} (si a < 0)

  2. Dérivée : f'(x) = a{ax + b}

  3. Signe de la dérivée : dépend du signe de a et de ax + b

  4. Variations : déterminées par le signe de f'

Exemple : Étudier f(x) = (2x - 4) :

  1. Domaine : 2x - 4 > 0 x > 2. Donc D_f = ]2, +[

  2. Dérivée : f'(x) = 2{2x - 4} = 1{x - 2} > 0 sur ]2, +[

  3. Variations : f est strictement croissante sur ]2, +[

  4. Limites :

    • _{x 2^+} (2x - 4) = _{X 0^+} (X) = -
    • _{x +} (2x - 4) = +

3.3 Fonction f(x) = x ln(x)

Exemple complet : Étudier f(x) = x (x) sur ]0, +[ :

  1. Domaine : ]0, +[

  2. Dérivée : f'(x) = (x) + 1 (calculé précédemment)

  3. Signe de la dérivée :

    • f'(x) = 0 (x) + 1 = 0 (x) = -1 x = e^{-1} = 1{e}
    • f'(x) > 0 (x) > -1 x > 1{e}
    • f'(x) < 0 0 < x < 1{e}

  4. Tableau de variations :

    • f est décroissante sur ]0, 1{e}]
    • f est croissante sur [1{e}, +[
    • Minimum en x = 1{e} avec f(1{e}) = -1{e}

  5. Limites :

    • _{x 0^+} x (x) = 0 (limite classique)
    • _{x +} x (x) = +

4. Limites classiques avec le logarithme

4.1 Limites fondamentales

Limites à connaître :

  • _{x 0^+} x (x) = 0
  • _{x +} (x){x} = 0
  • _{x +} (x){x^n} = 0 pour tout n > 0
  • _{x 0^+} x^n (x) = 0 pour tout n > 0

Interprétation : Ces limites montrent que le logarithme croît beaucoup plus lentement que les puissances de x.

Par exemple, x^{100} croît beaucoup plus vite que (x) quand x tend vers +.

4.2 Formes indéterminées

Méthode : Pour lever des [[forme-indeterminee|formes indéterminées]] avec , on peut utiliser :

  • Les propriétés algébriques du logarithme
  • Les limites classiques ci-dessus
  • Le théorème de croissance comparée

Exemple : Calculer _{x +} (x^2 + 1){x} :

On a une forme indéterminée +{+}.

On peut écrire : (x^2 + 1) = (x^2(1 + 1{x^2})) = 2(x) + (1 + 1{x^2})

Donc :

[formule]

Quand x + :

  • 2(x){x} 0 (limite classique)
  • (1 + {1{x^2})}{x} 0

Donc la limite est 0.

5. Tangente à la courbe

5.1 Équation de la tangente

Méthode : Pour trouver l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse a > 0 :

  1. Calculer f(a) = (a)
  2. Calculer f'(a) = 1{a}
  3. Écrire l'équation : y = f'(a)(x - a) + f(a)

Exemple : Équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse e :

  • f(e) = (e) = 1
  • f'(e) = 1{e}

L'équation de la tangente est :

[formule]

Donc y = x{e}.

À retenir

Résumé :

  1. Dérivée fondamentale : '(x) = 1{x} pour x > 0

  2. Dérivée composée : [(u(x))]' = u'(x){u(x)} (si u(x) > 0)

  3. Variations : La fonction est strictement croissante sur ]0, +[

  4. Limites classiques :

    • _{x 0^+} x (x) = 0
    • _{x +} (x){x} = 0

  5. Étude de fonctions : Utiliser la dérivée pour déterminer les variations et les extremums

Conseils pratiques :

  • Pour dériver (u(x)), pense à la formule : "dérivée de u sur u"
  • Toujours vérifier que l'argument du logarithme est strictement positif
  • Les limites avec nécessitent souvent des manipulations algébriques
  • Utilise les propriétés du logarithme pour simplifier avant de dériver

Erreurs fréquentes :

  • Ne pas oublier de vérifier le domaine de définition avant de dériver
  • '(x) = 1{x} et non x ou 1{(x)}
  • Pour (u(x)), la dérivée est u'(x){u(x)} et non u'(x){(u(x))}