Définition et propriétés du logarithme népérien
Introduction
Le logarithme népérien est une fonction fondamentale en mathématiques, étroitement liée à la fonction exponentielle. Il permet de résoudre des équations exponentielles et apparaît dans de nombreux domaines : sciences, économie, probabilités, etc. En Terminale Maths Complémentaires, on étudie ses propriétés algébriques et son comportement.
1. Définition du logarithme népérien
1.1 Définition comme fonction réciproque
Définition : La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Pour tout réel x > 0, on définit :
[formule]
Autrement dit, (x) est l'unique réel y tel que e^y = x.
Exemples :
- (e) = 1 car e^1 = e
- (1) = 0 car e^0 = 1
- (e^2) = 2 car e^2 = e^2
- (1{e}) = -1 car e^{-1} = 1{e}
Important : Le logarithme népérien n'est défini que pour les nombres strictement positifs.
(x) existe si et seulement si x > 0.
On ne peut pas calculer (0) ou (-5) !
1.2 Domaine de définition
Théorème : La fonction est définie sur ]0, +[.
Son ensemble image est R.
La fonction logarithme népérien réalise une bijection de ]0, +[ sur R.
2. Propriétés algébriques fondamentales
2.1 Relation avec l'exponentielle
Propriétés de réciprocité : Pour tout réel x > 0 et tout réel y :
- e^{(x)} = x
- (e^y) = y
- (e) = 1
- (1) = 0
Exemples :
- e^{(5)} = 5
- (e^{3x}) = 3x
- e^{(x^2)} = x^2 (pour x 0)
- (e^{-2}) = -2
2.2 Logarithme d'un produit
Théorème : logarithme d'un produit : Pour tous réels strictement positifs a et b :
[formule]
Cette propriété est fondamentale et permet de transformer un produit en somme.
Exemples :
- (2 3) = (2) + (3)
- (5x) = (5) + (x) (pour x > 0)
- (xy) = (x) + (y) (pour x > 0 et y > 0)
Méthode : simplifier avec le logarithme : Pour simplifier (2x) + (3y) :
[formule]
2.3 Logarithme d'un quotient
Théorème : logarithme d'un quotient : Pour tous réels strictement positifs a et b :
[formule]
Exemples :
- (10{2}) = (10) - (2) = (5)
- (x{y}) = (x) - (y) (pour x > 0 et y > 0)
- (1{x}) = (1) - (x) = -(x) (pour x > 0)
2.4 Logarithme d'une puissance
Théorème : logarithme d'une puissance : Pour tout réel strictement positif a et tout réel n :
[formule]
En particulier :
- (a^2) = 2(a)
- (a) = (a^{1/2}) = 1{2}(a)
- (1{a}) = (a^{-1}) = -(a)
Exemples :
- (x^3) = 3(x) (pour x > 0)
- (x) = 1{2}(x) (pour x > 0)
- (x^{-2}) = -2(x) (pour x > 0)
- (2^5) = 5(2)
Exemple combiné : Simplifier (x^2 {y}{z^3}) où x > 0, y > 0, z > 0 :
[formule]
3. Courbe représentative et comportement
3.1 Points remarquables
Valeurs particulières :
- (1) = 0 : la courbe passe par le point (1, 0)
- (e) = 1 : la courbe passe par le point (e, 1)
- (1{e}) = -1 : la courbe passe par le point (1{e}, -1)
3.2 Limites aux bornes
Théorème : limites :
- _{x 0^+} (x) = -
- _{x +} (x) = +
Comportement en 0 : Quand x tend vers 0 par valeurs positives, (x) tend vers -.
L'axe des ordonnées (droite d'équation x = 0) est asymptote verticale à la courbe de .
3.3 Sens de variation
Théorème : La fonction est strictement croissante sur ]0, +[.
Cela signifie que si 0 < a < b, alors (a) < (b).
Applications :
- Comparer (2) et (3) : comme 2 < 3, on a (2) < (3)
- Résoudre (x) < (5) : comme est croissante, x < 5. Mais il faut aussi x > 0, donc x ]0, 5[
3.4 Propriétés de la courbe
La courbe représentative de la fonction :
- Passe par le point (1, 0)
- Est toujours au-dessus de l'axe des abscisses pour x > 1
- Est toujours en-dessous de l'axe des abscisses pour 0 < x < 1
- Admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale
- Est concave (courbée vers le bas)
4. Relations avec les puissances
4.1 Changement de base
Propriété : Pour tout réel strictement positif a et tout réel n :
[formule]
Cette propriété permet de "faire descendre" l'exposant.
4.2 Cas particuliers
Exemples :
- (x^2) = 2(x) (attention : nécessite x > 0)
- (x^{-3}) = -3(x)
- ([3]{x}) = (x^{1/3}) = 1{3}(x)
- (1{x^4}) = (x^{-4}) = -4(x)
5. Comparaisons et encadrements
5.1 Comparaison avec les puissances
Propriété : Pour tout réel x > 1 et tout entier n 1 :
[formule]
Le logarithme croît plus lentement que toute puissance de x.
5.2 Encadrements utiles
Encadrements classiques :
- (2) 0,693
- (3) 1,099
- (10) 2,303
- (e) = 1
6. Équations logarithmiques simples
6.1 Résolution d'équations
Méthode : Pour résoudre une équation de la forme (f(x)) = (g(x)) :
- Vérifier que f(x) > 0 et g(x) > 0
- Utiliser l'injectivité : (f(x)) = (g(x)) f(x) = g(x)
- Résoudre l'équation obtenue
- Vérifier que les solutions trouvées sont dans le domaine de définition
Exemple : Résoudre (x + 1) = (2x - 3) :
Conditions : x + 1 > 0 et 2x - 3 > 0, donc x > 3{2}.
Par injectivité : x + 1 = 2x - 3 x = 4.
Vérification : 4 > 3{2}, donc x = 4 est solution.
À retenir
Résumé des propriétés :
Définition : (x) = y e^y = x pour x > 0
Propriétés algébriques :
- (ab) = (a) + (b)
- (a{b}) = (a) - (b)
- (a^n) = n (a)
- (1) = 0 et (e) = 1
Réciprocité : e^{(x)} = x et (e^y) = y
Domaine : ]0, +[
Limites : _{x 0^+} (x) = - et _{x +} (x) = +
Variations : La fonction est strictement croissante sur ]0, +[
Conseil pratique : Pour manipuler les logarithmes :
- Utilise les propriétés pour transformer produits en sommes
- Fais attention au domaine de définition : x > 0
- Pour résoudre des équations, utilise l'injectivité : (a) = (b) a = b
- N'oublie pas que (x^n) = n(x) permet de simplifier
Erreurs fréquentes :
- (a + b) (a) + (b) ! On ne peut pas séparer une somme.
- (ab) = (a) + (b) mais (a + b) ne se simplifie pas.
- Ne pas oublier les conditions d'existence : (x) existe seulement si x > 0.