Limites et croissances comparées

Fonction exponentielle — Terminale Maths Complémentaires

Limites et croissances comparées

Introduction

L'étude des limites de la fonction exponentielle et de ses comparaisons avec d'autres fonctions (polynômes, puissances) est essentielle pour comprendre le comportement asymptotique. La fonction exponentielle croît extrêmement rapidement, plus vite que toute puissance de x.

1. Limites fondamentales

1.1 Limites en + et -

Théorème :

  • _{x +} e^x = +
  • _{x -} e^x = 0

Interprétation :

  • En +, la fonction exponentielle tend vers + très rapidement.
  • En -, la fonction exponentielle tend vers 0 (sans jamais l'atteindre). L'axe des abscisses est asymptote horizontale.

1.2 Limites avec translations

Théorème : Pour tout réel a :

  • _{x +} e^{x+a} = +
  • _{x -} e^{x+a} = 0

2. Croissances comparées : exponentielle vs polynômes

2.1 Théorème fondamental

Théorème de croissance comparée : Pour tout entier naturel n et tout réel a > 0 :

[formule]

[formule]

En d'autres termes, l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances en +.

Important : Ce résultat signifie que e^x croît infiniment plus vite que x^n, quelle que soit la puissance n. Même e^x croît plus vite que x^{1000} ou x^{1000000} !

2.2 Cas particuliers fréquents

Cas particuliers :

  • _{x +} e^x{x} = +
  • _{x +} e^x{x^2} = +
  • _{x +} x{e^x} = 0
  • _{x +} x^2{e^x} = 0
  • _{x +} x^n e^x = + pour tout n N

Exemples :

  • _{x +} e^x{x^3} = + (l'exponentielle domine)

  • _{x +} x^5{e^x} = 0 (l'exponentielle domine)

  • _{x +} x^{10} e^x = + (produit d'une puissance et d'une exponentielle)

3. Limites avec e^{-x}

3.1 Comportement de e^{-x}

Théorème :

  • _{x +} e^{-x} = 0
  • _{x -} e^{-x} = +

Comme e^{-x} = 1{e^x}, on retrouve les limites de e^x en inversant les signes.

3.2 Croissances comparées avec e^{-x}

Théorème : Pour tout entier naturel n :

[formule]

[formule]

Exemples :

  • _{x +} x e^{-x} = 0
  • _{x +} x^2 e^{-x} = 0
  • _{x +} e^{-x}{x} = 0

4. Limites avec compositions

4.1 Limites de e^{u(x)}

Méthode : Pour déterminer _{x a} e^{u(x)}, on étudie d'abord _{x a} u(x) :

  • Si _{x a} u(x) = +, alors _{x a} e^{u(x)} = +
  • Si _{x a} u(x) = -, alors _{x a} e^{u(x)} = 0
  • Si _{x a} u(x) = R, alors _{x a} e^{u(x)} = e^{}

Exemples :

  • _{x +} e^{x^2} = + (car _{x +} x^2 = +)

  • _{x +} e^{-x^2} = 0 (car _{x +} -x^2 = -)

  • _{x 0} e^{2x+1} = e^1 = e (car _{x 0} (2x+1) = 1)

4.2 Formes indéterminées

Exemple : forme 0 : Calculer _{x +} x e^{-x}.

C'est une forme indéterminée 0. On écrit :

[formule]

D'après les croissances comparées : _{x +} x{e^x} = 0

Donc _{x +} x e^{-x} = 0.

Exemple : forme {} : Calculer _{x +} e^{2x}{e^x + x}.

On factorise par e^x au dénominateur :

[formule]

Comme _{x +} x{e^x} = 0, on a :

[formule]

5. Asymptotes

5.1 Asymptote horizontale

Théorème : La droite d'équation y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de e^x en -.

En effet : _{x -} e^x = 0

5.2 Pas d'asymptote oblique

Théorème : La fonction exponentielle n'admet pas d'asymptote oblique en +.

En effet, _{x +} e^x{x} = +, donc il n'existe pas de limite finie pour le coefficient directeur d'une éventuelle asymptote oblique.

6. Applications pratiques

6.1 Comparaison de fonctions

Exemple : Comparer les croissances de f(x) = x^{100} et g(x) = e^x en +.

On calcule : _{x +} x^{100}{e^x} = 0

Donc e^x croît infiniment plus vite que x^{100} en +.

6.2 Limites de fonctions composées

Exemple : Calculer _{x +} e^{x^2 - 3x}.

On étudie d'abord : _{x +} (x^2 - 3x) = +

Donc : _{x +} e^{x^2 - 3x} = +

À retenir

Résumé des limites :

  1. Limites fondamentales :

    • _{x +} e^x = +
    • _{x -} e^x = 0

  2. Croissances comparées (en +) :

    • _{x +} e^x{x^n} = + pour tout n N
    • _{x +} x^n{e^x} = 0 pour tout n N
    • _{x +} x^n e^{-x} = 0 pour tout n N

  3. Limites composées :

    • Si _{x a} u(x) = +, alors _{x a} e^{u(x)} = +
    • Si _{x a} u(x) = -, alors _{x a} e^{u(x)} = 0
    • Si _{x a} u(x) = , alors _{x a} e^{u(x)} = e^{}

  4. Asymptote : y = 0 est asymptote horizontale en -

Conseil pratique : Pour calculer des limites avec l'exponentielle :

  1. Identifie la forme indéterminée éventuelle
  2. Utilise les croissances comparées pour lever l'indétermination
  3. Pour e^{u(x)}, étudie d'abord la limite de u(x)
  4. Factorise par l'exponentielle dominante si nécessaire