Limites et croissances comparées

Fonction exponentielle — Terminale Maths Complémentaires

Limites et croissances comparées

Introduction

L'étude des limites de la [[fonction-exponentielle|fonction exponentielle]] et de ses comparaisons avec d'autres fonctions (polynômes, puissances) est essentielle pour comprendre le comportement asymptotique. La [[fonction-exponentielle|fonction exponentielle]] croît extrêmement rapidement, plus vite que toute puissance de x.

1. Limites fondamentales

1.1 Limites en + et -

Théorème :

  • _{x +} e^x = +
  • _{x -} e^x = 0

Interprétation :

  • En +, la fonction exponentielle tend vers + très rapidement.
  • En -, la fonction exponentielle tend vers 0 (sans jamais l'atteindre). L'axe des abscisses est asymptote horizontale.

1.2 Limites avec translations

Théorème : Pour tout réel a :

  • _{x +} e^{x+a} = +
  • _{x -} e^{x+a} = 0

2. Croissances comparées : exponentielle vs polynômes

2.1 Théorème fondamental

Théorème de croissance comparée : Pour tout entier naturel n et tout réel a > 0 :

[formule]

[formule]

En d'autres termes, l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances en +.

Important : Ce résultat signifie que e^x croît infiniment plus vite que x^n, quelle que soit la puissance n. Même e^x croît plus vite que x^{1000} ou x^{1000000} !

2.2 Cas particuliers fréquents

Cas particuliers :

  • _{x +} e^x{x} = +
  • _{x +} e^x{x^2} = +
  • _{x +} x{e^x} = 0
  • _{x +} x^2{e^x} = 0
  • _{x +} x^n e^x = + pour tout n N

Exemples :

  • _{x +} e^x{x^3} = + (l'exponentielle domine)

  • _{x +} x^5{e^x} = 0 (l'exponentielle domine)

  • _{x +} x^{10} e^x = + (produit d'une puissance et d'une exponentielle)

3. Limites avec e^{-x}

3.1 Comportement de e^{-x}

Théorème :

  • _{x +} e^{-x} = 0
  • _{x -} e^{-x} = +

Comme e^{-x} = 1{e^x}, on retrouve les limites de e^x en inversant les signes.

3.2 Croissances comparées avec e^{-x}

Théorème : Pour tout entier naturel n :

[formule]

[formule]

Exemples :

  • _{x +} x e^{-x} = 0
  • _{x +} x^2 e^{-x} = 0
  • _{x +} e^{-x}{x} = 0

4. Limites avec compositions

4.1 Limites de e^{u(x)}

Méthode : Pour déterminer _{x a} e^{u(x)}, on étudie d'abord _{x a} u(x) :

  • Si _{x a} u(x) = +, alors _{x a} e^{u(x)} = +
  • Si _{x a} u(x) = -, alors _{x a} e^{u(x)} = 0
  • Si _{x a} u(x) = R, alors _{x a} e^{u(x)} = e^{}

Exemples :

  • _{x +} e^{x^2} = + (car _{x +} x^2 = +)

  • _{x +} e^{-x^2} = 0 (car _{x +} -x^2 = -)

  • _{x 0} e^{2x+1} = e^1 = e (car _{x 0} (2x+1) = 1)

4.2 Formes indéterminées

Exemple : forme 0 : Calculer _{x +} x e^{-x}.

C'est une forme indéterminée 0. On écrit :

[formule]

D'après les croissances comparées : _{x +} x{e^x} = 0

Donc _{x +} x e^{-x} = 0.

Exemple : forme {} : Calculer _{x +} e^{2x}{e^x + x}.

On factorise par e^x au dénominateur :

[formule]

Comme _{x +} x{e^x} = 0, on a :

[formule]

5. Asymptotes

5.1 Asymptote horizontale

Théorème : La droite d'équation y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de e^x en -.

En effet : _{x -} e^x = 0

5.2 Pas d'asymptote oblique

Théorème : La fonction exponentielle n'admet pas d'asymptote oblique en +.

En effet, _{x +} e^x{x} = +, donc il n'existe pas de limite finie pour le coefficient directeur d'une éventuelle asymptote oblique.

6. Applications pratiques

6.1 Comparaison de fonctions

Exemple : Comparer les croissances de f(x) = x^{100} et g(x) = e^x en +.

On calcule : _{x +} x^{100}{e^x} = 0

Donc e^x croît infiniment plus vite que x^{100} en +.

6.2 Limites de fonctions composées

Exemple : Calculer _{x +} e^{x^2 - 3x}.

On étudie d'abord : _{x +} (x^2 - 3x) = +

Donc : _{x +} e^{x^2 - 3x} = +

À retenir

Résumé des limites :

  1. Limites fondamentales :

    • _{x +} e^x = +
    • _{x -} e^x = 0

  2. Croissances comparées (en +) :

    • _{x +} e^x{x^n} = + pour tout n N
    • _{x +} x^n{e^x} = 0 pour tout n N
    • _{x +} x^n e^{-x} = 0 pour tout n N

  3. Limites composées :

    • Si _{x a} u(x) = +, alors _{x a} e^{u(x)} = +
    • Si _{x a} u(x) = -, alors _{x a} e^{u(x)} = 0
    • Si _{x a} u(x) = , alors _{x a} e^{u(x)} = e^{}

  4. Asymptote : y = 0 est asymptote horizontale en -

Conseil pratique : Pour calculer des limites avec l'exponentielle :

  1. Identifie la forme indéterminée éventuelle
  2. Utilise les croissances comparées pour lever l'indétermination
  3. Pour e^{u(x)}, étudie d'abord la limite de u(x)
  4. Factorise par l'exponentielle dominante si nécessaire