Dérivée et étude de la fonction exponentielle

Introduction

L'étude de la dérivée de la fonction exponentielle est essentielle pour comprendre ses variations et tracer sa courbe représentative. La propriété remarquable '(x) = (x) simplifie grandement l'étude de cette fonction et de ses composées.

1. Dérivée de la fonction exponentielle

1.1 Dérivée de e^x

Théorème fondamental : La fonction exponentielle est dérivable sur R et :

[formule]

C'est la seule fonction (à une constante multiplicative près) dont la dérivée est égale à elle-même.

Vérification : Par définition, la fonction exponentielle vérifie '(x) = (x) pour tout x R.

Avec la notation e^x, cela s'écrit : (e^x)' = e^x.

1.2 Dérivée de e^{u(x)}

Théorème : dérivée d'une exponentielle composée : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction x e^{u(x)} est dérivable sur I et :

[formule]

Exemples :

• Dérivée de f(x) = e^{2x} :

  On pose u(x) = 2x, donc u'(x) = 2.

  f'(x) = 2 e^{2x} = 2e^{2x}

• Dérivée de g(x) = e^{x^2 + 3x} :

  On pose u(x) = x^2 + 3x, donc u'(x) = 2x + 3.

  g'(x) = (2x + 3) e^{x^2 + 3x}

• Dérivée de h(x) = e^{-x} :

  On pose u(x) = -x, donc u'(x) = -1.

  h'(x) = -1 e^{-x} = -e^{-x}

2. Dérivée seconde et convexité

2.1 Dérivée seconde

Théorème : La fonction exponentielle est indéfiniment dérivable sur R et toutes ses dérivées sont égales à e^x :

[formule]

Pour une fonction composée e^{u(x)}, la dérivée seconde est :

[formule]

2.2 Convexité

Théorème : La fonction exponentielle est convexe sur R.

En effet, (e^x)'' = e^x > 0 pour tout x R.

Interprétation géométrique : La convexité signifie que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située au-dessus de toutes ses tangentes. La courbe « tourne vers le haut ».

3. Étude complète de la fonction x e^x

3.1 Domaine de définition

La fonction f(x) = e^x est définie sur R tout entier.

3.2 Limites aux bornes

Limites :

• _{x -} e^x = 0
• _{x +} e^x = +

Interprétation :

• Quand x tend vers -, e^x tend vers 0 (mais ne l'atteint jamais).
• Quand x tend vers +, e^x croît très rapidement vers +.

3.3 Sens de variation

Variations : La fonction f(x) = e^x est strictement croissante sur R.

En effet, f'(x) = e^x > 0 pour tout x R.

3.4 Tableau de variations

3.5 Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction exponentielle :

• Passe par le point (0, 1) car e^0 = 1
• Est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (e^x > 0)
• Admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en -
• Croît très rapidement vers +

4. Étude de fonctions du type x e^{u(x)}

4.1 Méthode générale

Pour étudier une fonction de la forme f(x) = e^{u(x)} :

1. Déterminer le domaine de définition : D_f = {x R u(x) est définie}

2. Calculer la dérivée : f'(x) = u'(x) e^{u(x)}

3. Étudier le signe de f' :

   • Comme e^{u(x)} > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de u'(x)
   • f'(x) = 0 u'(x) = 0
   • f'(x) > 0 u'(x) > 0
   • f'(x) < 0 u'(x) < 0

4. Dresser le tableau de variations

5. Calculer les limites aux bornes du domaine

4.2 Exemple complet

Étude de f(x) = e^{x^2 - 2x} : 1. Domaine de définition : D_f = R (car x^2 - 2x est définie sur R)

2. Dérivée :

• u(x) = x^2 - 2x, donc u'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)
• f'(x) = 2(x - 1) e^{x^2 - 2x}

3. Signe de la dérivée :

• f'(x) = 0 x = 1
• f'(x) > 0 x > 1 (car e^{x^2 - 2x} > 0 toujours)
• f'(x) < 0 x < 1

4. Tableau de variations :

5. Limites :

• _{x -} f(x) = _{x -} e^{x^2 - 2x} = + (car x^2 domine)
• _{x +} f(x) = +

Conclusion : f admet un minimum en x = 1 : f(1) = e^{-1} = 1{e}

5. Dérivée de produits et quotients avec exponentielle

5.1 Produit avec exponentielle

Formule : Si u et v sont dérivables, alors :

[formule]

Exemple : Dérivée de f(x) = x e^x :

f'(x) = 1 e^x + x e^x = e^x(1 + x)

5.2 Quotient avec exponentielle

Formule : Si u et v sont dérivables et v(x) 0, alors :

[formule]

6. Tangente à la courbe

6.1 Équation de la tangente

Théorème : La tangente à la courbe représentative de f(x) = e^x au point d'abscisse a a pour équation :

[formule]

Exemple : Tangente à la courbe de f(x) = e^x au point d'abscisse 0 :

• f(0) = e^0 = 1
• f'(0) = e^0 = 1

Équation : y = 1 (x - 0) + 1 = x + 1

La tangente au point (0, 1) a pour équation y = x + 1.

À retenir

Résumé :

1. Dérivée fondamentale : (e^x)' = e^x

2. Dérivée composée : [e^{u(x)}]' = u'(x) e^{u(x)}

3. Signe de la dérivée : Pour f(x) = e^{u(x)}, le signe de f'(x) est celui de u'(x)

4. Convexité : La fonction exponentielle est convexe sur R

5. Limites :

   • _{x -} e^x = 0
   • _{x +} e^x = +

6. Tangente : En x = a, l'équation est y = e^a(x - a) + e^a

Conseil pratique : Pour étudier f(x) = e^{u(x)} :

1. Calcule u'(x)
2. Le signe de f'(x) = signe de u'(x)
3. Les zéros de f' sont les zéros de u'
4. Utilise ces informations pour dresser le tableau de variations