Dérivée et étude de la fonction exponentielle

Introduction

L'étude de la dérivée de la [[fonction-exponentielle|fonction exponentielle]] est essentielle pour comprendre ses variations et tracer sa courbe représentative. La propriété remarquable '(x) = (x) simplifie grandement l'étude de cette fonction et de ses composées.

1. Dérivée de la fonction exponentielle

1.1 Dérivée de e^x

Théorème fondamental : La [[fonction-exponentielle|fonction exponentielle]] est dérivable sur R et :

[formule]

C'est la seule fonction (à une constante multiplicative près) dont la dérivée est égale à elle-même.

Vérification : Par définition, la fonction exponentielle vérifie '(x) = (x) pour tout x R.

Avec la notation e^x, cela s'écrit : (e^x)' = e^x.

1.2 Dérivée de e^{u(x)}

Théorème : dérivée d'une exponentielle composée : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction x e^{u(x)} est dérivable sur I et :

[formule]

Exemples :

• Dérivée de f(x) = e^{2x} :

  On pose u(x) = 2x, donc u'(x) = 2.

  f'(x) = 2 e^{2x} = 2e^{2x}

• Dérivée de g(x) = e^{x^2 + 3x} :

  On pose u(x) = x^2 + 3x, donc u'(x) = 2x + 3.

  g'(x) = (2x + 3) e^{x^2 + 3x}

• Dérivée de h(x) = e^{-x} :

  On pose u(x) = -x, donc u'(x) = -1.

  h'(x) = -1 e^{-x} = -e^{-x}

2. Dérivée seconde et convexité

2.1 Dérivée seconde

Théorème : La fonction exponentielle est indéfiniment dérivable sur R et toutes ses dérivées sont égales à e^x :

[formule]

Pour une fonction composée e^{u(x)}, la dérivée seconde est :

[formule]

2.2 Convexité

Théorème : La fonction exponentielle est convexe sur R.

En effet, (e^x)'' = e^x > 0 pour tout x R.

Interprétation géométrique : La convexité signifie que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située au-dessus de toutes ses tangentes. La courbe « tourne vers le haut ».

3. Étude complète de la fonction x e^x

3.1 Domaine de définition

La fonction f(x) = e^x est définie sur R tout entier.

3.2 Limites aux bornes

Limites :

• _{x -} e^x = 0
• _{x +} e^x = +

Interprétation :

• Quand x tend vers -, e^x tend vers 0 (mais ne l'atteint jamais).
• Quand x tend vers +, e^x croît très rapidement vers +.

3.3 Sens de variation

Variations : La fonction f(x) = e^x est strictement croissante sur R.

En effet, f'(x) = e^x > 0 pour tout x R.

3.4 Tableau de variations

3.5 Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction exponentielle :

• Passe par le point (0, 1) car e^0 = 1
• Est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (e^x > 0)
• Admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en -
• Croît très rapidement vers +

4. Étude de fonctions du type x e^{u(x)}

4.1 Méthode générale

Pour étudier une fonction de la forme f(x) = e^{u(x)} :

1. Déterminer le domaine de définition : D_f = {x R u(x) est définie}

2. Calculer la dérivée : f'(x) = u'(x) e^{u(x)}

3. Étudier le signe de f' :

   • Comme e^{u(x)} > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de u'(x)
   • f'(x) = 0 u'(x) = 0
   • f'(x) > 0 u'(x) > 0
   • f'(x) < 0 u'(x) < 0

4. Dresser le tableau de variations

5. Calculer les limites aux bornes du domaine

4.2 Exemple complet

Étude de f(x) = e^{x^2 - 2x} : 1. Domaine de définition : D_f = R (car x^2 - 2x est définie sur R)

2. Dérivée :

• u(x) = x^2 - 2x, donc u'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)
• f'(x) = 2(x - 1) e^{x^2 - 2x}

3. Signe de la dérivée :

• f'(x) = 0 x = 1
• f'(x) > 0 x > 1 (car e^{x^2 - 2x} > 0 toujours)
• f'(x) < 0 x < 1

4. Tableau de variations :

5. Limites :

• _{x -} f(x) = _{x -} e^{x^2 - 2x} = + (car x^2 domine)
• _{x +} f(x) = +

Conclusion : f admet un minimum en x = 1 : f(1) = e^{-1} = 1{e}

5. Dérivée de produits et quotients avec exponentielle

5.1 Produit avec exponentielle

Formule : Si u et v sont dérivables, alors :

[formule]

Exemple : Dérivée de f(x) = x e^x :

f'(x) = 1 e^x + x e^x = e^x(1 + x)

5.2 Quotient avec exponentielle

Formule : Si u et v sont dérivables et v(x) 0, alors :

[formule]

6. Tangente à la courbe

6.1 Équation de la tangente

Théorème : La tangente à la courbe représentative de f(x) = e^x au point d'abscisse a a pour équation :

[formule]

Exemple : Tangente à la courbe de f(x) = e^x au point d'abscisse 0 :

• f(0) = e^0 = 1
• f'(0) = e^0 = 1

Équation : y = 1 (x - 0) + 1 = x + 1

La tangente au point (0, 1) a pour équation y = x + 1.

À retenir

Résumé :

1. Dérivée fondamentale : (e^x)' = e^x

2. Dérivée composée : [e^{u(x)}]' = u'(x) e^{u(x)}

3. Signe de la dérivée : Pour f(x) = e^{u(x)}, le signe de f'(x) est celui de u'(x)

4. Convexité : La fonction exponentielle est convexe sur R

5. Limites :

   • _{x -} e^x = 0
   • _{x +} e^x = +

6. Tangente : En x = a, l'équation est y = e^a(x - a) + e^a

Conseil pratique : Pour étudier f(x) = e^{u(x)} :

1. Calcule u'(x)
2. Le signe de f'(x) = signe de u'(x)
3. Les zéros de f' sont les zéros de u'
4. Utilise ces informations pour dresser le tableau de variations