La fonction exponentielle et ses propriétés algébriques

Fonction exponentielle — Terminale Maths Complémentaires

La fonction exponentielle et ses propriétés algébriques

Introduction

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques. Elle apparaît naturellement dans de nombreux domaines : croissance démographique, décroissance radioactive, intérêts composés, etc. En Terminale Maths Complémentaires, on étudie ses propriétés fondamentales et ses applications.

1. Définition de la fonction exponentielle

1.1 Définition formelle

Définition : La fonction exponentielle, notée ou x e^x, est l'unique fonction dérivable sur R qui vérifie :

  • '(x) = (x) pour tout x R
  • (0) = 1

Le nombre e est appelé nombre d'Euler et vaut approximativement e 2,71828...

Note historique : Le nombre e a été introduit par Leonhard Euler au XVIIIe siècle. C'est la base du logarithme népérien et il possède de nombreuses propriétés remarquables.

1.2 Notation

On note généralement :

  • (x) ou e^x pour la fonction exponentielle
  • e pour le nombre d'Euler

Ces deux notations sont équivalentes : (x) = e^x.

2. Propriétés algébriques fondamentales

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème : relation fonctionnelle : Pour tous réels a et b :

[formule]

Cette propriété est fondamentale et caractérise la fonction exponentielle.

Exemples :

  • e^{2+3} = e^2 e^3 = e^5
  • e^{x+1} = e^x e^1 = e e^x
  • e^{2x} = e^{x+x} = e^x e^x = (e^x)^2

2.2 Autres propriétés algébriques

Propriétés algébriques : Pour tous réels a et b, et pour tout entier relatif n :

  1. Produit : e^{a+b} = e^a e^b

  2. Quotient : e^{a-b} = e^a{e^b}

  3. Puissance : e^{na} = (e^a)^n pour tout n Z

  4. Inverse : e^{-a} = 1{e^a}

  5. Racine : e^{a{n}} = [n]{e^a} pour n N^*

Exemples d'application :

  • Simplifier e^{2x+1}{e^{x-3}} :

    e^{2x+1}{e^{x-3}} = e^{(2x+1) - (x-3)} = e^{2x+1-x+3} = e^{x+4}

  • Simplifier (e^x)^3 e^{-2x} :

    (e^x)^3 e^{-2x} = e^{3x} e^{-2x} = e^{3x-2x} = e^x

  • Écrire e^{5x} sous la forme (e^x)^n :

    e^{5x} = (e^x)^5

3. Signe et valeurs particulières

3.1 Signe de la fonction exponentielle

Théorème : Pour tout réel x, on a e^x > 0.

La fonction exponentielle est strictement positive sur R.

Important : Contrairement à certaines fonctions, la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Sa courbe représentative est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

3.2 Valeurs particulières

Valeurs remarquables :

  • e^0 = 1
  • e^1 = e 2,718
  • e^{-1} = 1{e} 0,368
  • _{x +} e^x = +
  • _{x -} e^x = 0

4. Variations et courbe représentative

4.1 Sens de variation

Théorème : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Cela découle directement du fait que sa dérivée est elle-même : '(x) = (x) > 0 pour tout x.

4.2 Propriétés de croissance

Propriétés : Pour tous réels a et b :

  • Si a < b, alors e^a < e^b
  • Si e^a = e^b, alors a = b (injectivité)
  • La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ]0, +[

Applications :

  • Comparer e^{0,5} et e^{0,7} :

    Comme 0,5 < 0,7, on a e^{0,5} < e^{0,7}

  • Résoudre e^{2x} = e^{x+1} :

    e^{2x} = e^{x+1} 2x = x + 1 x = 1

5. Équations et inéquations exponentielles

5.1 Équations exponentielles

Méthode : Pour résoudre une équation de la forme e^{f(x)} = e^{g(x)}, on utilise l'injectivité :

[formule]

Exemples :

  • Résoudre e^{2x+1} = e^{x-3} :

    e^{2x+1} = e^{x-3} 2x + 1 = x - 3 x = -4

  • Résoudre e^{x^2} = e^{3x} :

    e^{x^2} = e^{3x} x^2 = 3x x^2 - 3x = 0 x(x - 3) = 0

    Donc x = 0 ou x = 3

5.2 Inéquations exponentielles

Méthode : Comme la fonction exponentielle est strictement croissante :

[formule]

[formule]

Exemples :

  • Résoudre e^{2x-1} < e^{x+2} :

    e^{2x-1} < e^{x+2} 2x - 1 < x + 2 x < 3

    L'ensemble des solutions est ]-, 3[.

  • Résoudre e^{x^2} e^{4x} :

    e^{x^2} e^{4x} x^2 4x x^2 - 4x 0 x(x - 4) 0

    L'ensemble des solutions est ]-, 0] [4, +[.

6. Applications pratiques

6.1 Croissance exponentielle

Exemple : croissance démographique : Une population de bactéries double toutes les heures. Si on note N(t) le nombre de bactéries au temps t (en heures), on a :

[formule]

où N_0 est le nombre initial de bactéries.

6.2 Décroissance exponentielle

Exemple : décroissance radioactive : La quantité d'un élément radioactif décroît selon la loi :

[formule]

où est la constante de désintégration et N_0 la quantité initiale.

6.3 Intérêts composés

Exemple : placement financier : Un capital C_0 placé à un taux annuel r (en décimal) pendant t années devient :

[formule]

À retenir

Résumé des propriétés :

  1. Définition : '(x) = (x) et (0) = 1

  2. Propriétés algébriques :

    • e^{a+b} = e^a e^b
    • e^{a-b} = e^a{e^b}
    • e^{na} = (e^a)^n pour n Z
    • e^{-a} = 1{e^a}

  3. Signe : e^x > 0 pour tout x R

  4. Variations : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R

  5. Équations : e^{f(x)} = e^{g(x)} f(x) = g(x)

  6. Inéquations : e^{f(x)} < e^{g(x)} f(x) < g(x)

Conseil pratique : Pour manipuler les expressions exponentielles :

  1. Utilise les propriétés algébriques pour simplifier
  2. Pour résoudre des équations, utilise l'injectivité : e^a = e^b a = b
  3. Pour les inéquations, utilise la croissance : e^a < e^b a < b