Résoudre f(x) = k et f(x) < k

Introduction

Résoudre f(x) = k, c'est chercher les antécédents de k ; résoudre f(x) < k, c'est chercher les x dont l'image est inférieure à k. Pour les fonctions de référence, deux méthodes se complètent :

• la méthode graphique dit combien il y a de solutions et où elles sont ;
• la méthode algébrique donne leurs valeurs exactes.

1. La méthode graphique

Lire les solutions sur la courbe : On trace la courbe Cf et la droite horizontale d'équation y = k.

• Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection.
• Les solutions de f(x) < k sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de la droite ; pour f(x) > k, au-dessus.
• Pour f(x) ≤ k ou f(x) ≥ k, on ajoute les points d'intersection.

Exemple : Avec la fonction carré et k = 4 : la droite d'équation y = 4 coupe la parabole aux points d'abscisses -2 et 2. Donc x² = 4 ⟺ x = -2 ou x = 2, et la parabole est sous la droite entre les deux : x² < 4 ⟺ -2 < x < 2.

Une lecture reste approchée : Pour x² = 2 avec x > 0, on lit sur un graphique x ≈ 1,4 ; le calcul donne √(2). La lecture sert à prévoir et à contrôler ; la valeur exacte vient du calcul.

2. La fonction carré

Équation x² = k :

• Si k < 0 : aucune solution, car un carré est toujours positif ou nul.
• Si k = 0 : une seule solution, x = 0.
• Si k > 0 : deux solutions, x = -√(k) et x = √(k).

En effet, pour k > 0, x² = k ⟺ x² - (√(k))² = 0 ⟺ (x - √(k))(x + √(k)) = 0, et un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

Inéquations, pour k > 0 : x² < k ⟺ -√(k) < x < √(k) x² > k ⟺ x < -√(k) ou x > √(k)

On le lit sur la parabole, et on le démontre par le signe de (x - √(k))(x + √(k)) dans un tableau de signes. Pour k ≤ 0, x² < k n'a aucune solution.

Exemple : x² ≥ 3 ⟺ x ≤ -√(3) ou x ≥ √(3), soit S = ]-∞ ; -√(3)] ∪ [√(3) ; +∞[.

L'erreur classique : Écrire « x² < 9 ⟺ x < 3 ». Le nombre -5 vérifie -5 < 3, mais (-5)² = 25 n'est pas inférieur à 9. Il ne faut jamais oublier le côté négatif.

3. La fonction inverse

Équation 1/x = k :

• Si k = 0 : aucune solution, car un inverse n'est jamais nul.
• Si k ≠ 0 : une seule solution, x = 1/k.

Inéquation 1/x < k :

• Si k > 0 : 1/x < k ⟺ x < 0 ou x > 1/k.
• Si k = 0 : 1/x < 0 ⟺ x < 0.
• Si k < 0 : 1/x < k ⟺ 1/k < x < 0.

Pour une inéquation, on sépare les x négatifs et les x positifs, parce que la fonction inverse n'est décroissante que sur chacun des deux intervalles séparément.

Résoudre 1/x < 2 :

• Si x < 0 : 1/x < 0 < 2. Tous les réels négatifs sont solutions.
• Si x > 0 : 2 = 1/(1/2), et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ : 1/x < 1/(1/2) ⟺ x > 1/2.

S = ]-∞ ; 0[ ∪ ]1/2 ; +∞[

Contrôle : x = 1 donne 1 < 2 ✓ ; x = 0,25 donne 4, qui n'est pas inférieur à 2 ✓.

Résoudre 1/x < -1 :

• Si x > 0 : 1/x > 0, il n'y a aucune solution.
• Si x < 0 : -1 = 1/(-1), et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ : 1/x < 1/(-1) ⟺ x > -1.

S = ]-1 ; 0[

L'erreur classique : « Multiplier par x » sans connaître son signe : 1/x < 2 ⟹ 1 < 2x est faux pour x < 0, et fait perdre tous les négatifs.

4. La fonction racine carrée

Équation et inéquations avec √(x) :

• √(x) = k : aucune solution si k < 0 ; si k ≥ 0, une seule, x = k².
• Pour k > 0 : √(x) < k ⟺ 0 ≤ x < k².
• Pour k ≤ 0 : √(x) < k n'a aucune solution, puisqu'une racine carrée est positive ou nulle.
• Pour k ≥ 0 : √(x) > k ⟺ x > k².

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[, et k = √(k²) quand k ≥ 0 : comparer √(x) à k, c'est comparer x à k². Mais √(x) n'existe que pour x ≥ 0 : la borne 0 ne s'oublie pas.

Exemple : √(x) ≤ 3 ⟺ 0 ≤ x ≤ 9, soit S = [0 ; 9], et non ]-∞ ; 9] : √(-4) n'existe pas.

5. La fonction cube

Équation et inéquations avec x³ :

• x³ = k a toujours une solution, et une seule, même si k < 0.
• Si a³ = k, alors x³ < k ⟺ x < a et x³ > k ⟺ x > a, parce que la fonction cube est strictement croissante sur ℝ.

Exemples :

• x³ = -8 ⟺ x = -2, puisque (-2)³ = -8.
• x³ = 1/27 ⟺ x = 1/3.
• x³ < 8 ⟺ x < 2, et x³ ≥ -27 ⟺ x ≥ -3.
• x³ = 5 a une solution qui n'est pas un nombre « simple » : la courbe ou la calculatrice donnent x ≈ 1,71.

L'erreur classique : Raisonner comme avec le carré : x³ = -8 a une solution, et x³ = 8 n'en a qu'une, x = 2 — pas -2, puisque (-2)³ = -8.

6. La fonction valeur absolue

Équation et inéquations avec | x | :

• | x | = k : aucune solution si k < 0 ; x = 0 si k = 0 ; si k > 0, deux solutions, x = -k et x = k.
• Pour k > 0 : | x | < k ⟺ -k < x < k.
• Pour k ≤ 0 : | x | < k n'a aucune solution ; | x | ≤ 0 n'a que x = 0.
• Pour k ≥ 0 : | x | > k ⟺ x < -k ou x > k.

C'est la lecture en distance : | x | < k signifie que x est à moins de k de 0, d'un côté ou de l'autre.

Exemples :

• | x | ≤ 2,5 ⟺ -2,5 ≤ x ≤ 2,5 : S = [-2,5 ; 2,5].
• | x | > 4 ⟺ x < -4 ou x > 4 : S = ]-∞ ; -4[ ∪ ]4 ; +∞[.

7. Les fonctions affines

Pour m ≠ 0, mx + p = k ⟺ x = (k - p)/m. Pour une inéquation, on divise par m en changeant le sens de l'inégalité si m < 0.

Exemple : -2x + 3 < 7 ⟺ -2x < 4 ⟺ x > -2 : on a divisé par -2, négatif, donc le sens a changé.

8. Récapitulatif, pour k > 0

À retenir

Résumé :

1. Graphiquement : intersection avec la droite y = k, puis lecture au-dessus ou en dessous

2. Carré et valeur absolue : deux solutions symétriques pour k > 0 — ne jamais oublier le côté négatif

3. Inverse : séparer x < 0 et x > 0, ne jamais multiplier par x sans connaître son signe

4. Racine carrée : comparer x à k², et garder x ≥ 0

5. Cube : toujours une solution et une seule, et l'ordre est conservé

6. Contrôler une réponse avec une valeur test, de préférence un nombre négatif