Fonctions de référence
Introduction
Les fonctions de référence sont les fonctions fondamentales que l'on étudie au lycée. Il est essentiel de connaître leurs propriétés, leurs courbes et leurs tableaux de variations.
1. La fonction affine : f(x) = ax + b
Fonction affine : Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b où a et b sont des constantes réelles.
- a est le coefficient directeur (la pente)
- b est l'ordonnée à l'origine
Propriétés : **- Ensemble de définition : R
Si a > 0 : f est strictement croissante sur R
Si a < 0 : f est strictement décroissante sur R
Si a = 0 : f est constante (fonction constante f(x) = b)
Courbe : une droite
2. La fonction carré : f(x) = x^2
Propriétés de la fonction carré : **- Ensemble de définition : R
Décroissante** sur ]- ; 0]
Croissante** sur [0 ; +[
Minimum : f(0) = 0
Parité** : f(-x) = f(x) (fonction paire → courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées)
Tableau de valeurs :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x^2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
La courbe est une parabole de sommet O(0;0), symétrique par rapport à l'axe (Oy).
3. La fonction cube : f(x) = x^3
Propriétés de la fonction cube : **- Ensemble de définition : R
Strictement croissante** sur R
Pas d'extremum
Imparité** : f(-x) = -f(x) (fonction impaire → courbe symétrique par rapport à l'origine)
Valeurs remarquables :
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| x^3 | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
4. La fonction inverse : f(x) = 1{x}
Propriétés de la fonction inverse : **- Ensemble de définition : R^* = ]- ; 0[ ]0 ; +[
Strictement décroissante** sur ]- ; 0[
Strictement décroissante** sur ]0 ; +[
Pas d'extremum
Imparité** : f(-x) = -f(x)
Attention : On dit que f est décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[ séparément. On ne dit pas que f est décroissante sur R^* !
En effet, f(-1) = -1 < 1 = f(1) alors que -1 < 1.
Valeurs remarquables :
| x | -4 | -2 | -1 | -0{,}5 | 0{,}5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1{x} | -0{,}25 | -0{,}5 | -1 | -2 | 2 | 1 | 0{,}5 | 0{,}25 |
La courbe est une hyperbole avec deux branches, l'une dans le 1er quadrant, l'autre dans le 3e.
5. La fonction racine carrée : f(x) = x
Propriétés de la racine carrée : **- Ensemble de définition : [0 ; +[
Strictement croissante** sur [0 ; +[
Minimum : f(0) = 0
f(x) + quand x +
Valeurs remarquables :
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
La courbe « s'aplatit » progressivement : la fonction croît de plus en plus lentement.
6. La fonction valeur absolue : f(x) = |x|
Propriétés de la valeur absolue : **- Ensemble de définition : R
Décroissante** sur ]- ; 0]
Croissante** sur [0 ; +[
Minimum : f(0) = 0
Parité** : f(-x) = f(x)
Expression par morceaux : [formule]
La courbe est un « V » de sommet à l'origine.
7. Résumé comparatif
| Fonction | Définition | Variations | Extremum | Parité |
|---|---|---|---|---|
| ax + b | R | Selon le signe de a | Non | Non |
| x^2 | R | ↘ puis ↗ | Min = 0 | Paire |
| x^3 | R | ↗ | Non | Impaire |
| 1{x} | R^* | ↘ et ↘ | Non | Impaire |
| x | [0;+[ | ↗ | Min = 0 | Non |
| x | R | ↘ puis ↗ |
À retenir
Résumé :
Connaître par cœur les courbes et les variations des fonctions de référence
Carré** et valeur absolue : paires (symétriques / axe Oy)
Cube** et inverse : impaires (symétriques / origine)
L'inverse est décroissante sur ]-;0[ et sur ]0;+[ séparément
x n'est définie que pour x 0