Variations et extremums

Introduction

Étudier les variations d'une fonction, c'est déterminer les intervalles sur lesquels elle est croissante ou décroissante. Les extremums sont les valeurs maximale et minimale atteintes.

1. Fonctions croissantes et décroissantes

Fonction croissante : f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a, b I :

[formule]

Autrement dit : quand x augmente, f(x) augmente aussi.

Fonction décroissante : f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous a, b I :

[formule]

Autrement dit : quand x augmente, f(x) diminue.

Sur le graphique :

• Croissante : la courbe « monte » de gauche à droite
• Décroissante : la courbe « descend » de gauche à droite

2. Tableau de variations

Tableau de variations : Le tableau de variations résume le sens de variation de f sur son ensemble de définition. On y indique :

• Les valeurs remarquables de x (bornes, changements de variation)
• Le sens de variation (flèches montantes ↗ ou descendantes ↘)
• Les valeurs de f aux points clés

Exemple : Pour f(x) = x^2 sur R :

f est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0 ; +[.

Attention : On ne dit pas qu'une fonction est croissante en un point, mais sur un intervalle.

3. Extremums

Maximum : f admet un maximum en x = a si f(a) f(x) pour tout x du domaine.

Le maximum de f est la valeur f(a). Il est atteint en x = a.

Minimum : f admet un minimum en x = a si f(a) f(x) pour tout x du domaine.

Exemples :

• f(x) = x^2 admet un minimum égal à 0, atteint en x = 0. Elle n'a pas de maximum.
• f(x) = -x^2 + 4 admet un maximum égal à 4, atteint en x = 0.

Lien avec le tableau de variations : Dans le tableau de variations :

• Un minimum correspond à un point où la fonction passe de ↘ à ↗
• Un maximum correspond à un point où la fonction passe de ↗ à ↘

4. Fonctions de référence

La fonction carré : x x^2 :

• Ensemble de définition : R

Décroissante** sur ]- ; 0]

Croissante** sur [0 ; +[

Minimum : 0 (atteint en x = 0)

Courbe : une parabole de sommet (0 ; 0)

La fonction inverse : x 1{x} :

• Ensemble de définition : R^*

Décroissante** sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[

Pas d'extremum

Courbe : une hyperbole

La fonction racine carrée : x x :

• Ensemble de définition : [0 ; +[

Croissante** sur [0 ; +[

Minimum : 0 (atteint en x = 0)

5. Comparer des images

Méthode : Pour comparer f(a) et f(b), on utilise le sens de variation de f :

• Si f est croissante sur I et a < b, alors f(a) < f(b)

• Si f est décroissante sur I et a < b, alors f(a) > f(b)

Exemple : Comparer f(2{,}5) et f(3{,}7) pour f(x) = x^2.

On sait que f est croissante sur [0 ; +[. Comme 0 < 2{,}5 < 3{,}7, on a :

[formule]

Attention : Cette méthode ne fonctionne que si a et b sont dans un même intervalle de monotonie.

On ne peut pas comparer directement f(-2) et f(3) pour f(x) = x^2 avec cette méthode, car -2 et 3 ne sont pas dans le même intervalle de croissance/décroissance.

À retenir

Résumé :

1. Croissante : les images augmentent quand x augmente

2. Décroissante** : les images diminuent quand x augmente

3. Le tableau de variations résume le comportement global de f

4. Un minimum : passage de ↘ à ↗. Un maximum : passage de ↗ à ↘

5. Connaître les variations des fonctions de référence (x^2, 1{x}, x)