Notion de fonction
Introduction
La notion de fonction est au cœur des mathématiques. Elle modélise une relation de dépendance entre deux grandeurs : quand l'une varie, l'autre change en conséquence.
1. Définition
Fonction : Une fonction f définie sur un ensemble D (appelé ensemble de définition) associe à chaque nombre x de D un unique nombre, noté f(x).
On note :
[formule]
- x est la variable (ou l'antécédent)
- f(x) est l'image de x par f
Exemples :
- La fonction carré : f(x) = x^2. L'image de 3 est f(3) = 9.
- La fonction inverse : g(x) = 1{x}, définie pour x 0.
2. Vocabulaire
Image et antécédent : Soit f une fonction et a un nombre de son ensemble de définition.
- f(a) est l'image de a par f
- a est un antécédent de f(a) par f
Attention :
- Un nombre a une seule image par f (c'est la définition même d'une fonction)
- Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun
Exemple : Soit f(x) = x^2.
- L'image de -3 est f(-3) = 9
- Les antécédents de 9 sont 3 et -3 (car 3^2 = 9 et (-3)^2 = 9)
- Le nombre -4 n'a aucun antécédent (un carré est toujours positif)
3. Ensemble de définition
Ensemble de définition : L'ensemble de définition D_f d'une fonction f est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.
Comment le déterminer ? : Il faut exclure les valeurs de x qui posent problème :
Division par zéro : 1{x} n'existe pas pour x = 0
Racine carrée de négatif : x n'existe pas pour x < 0
Exemples :
| Fonction | Ensemble de définition |
|---|---|
| f(x) = 2x + 3 | D_f = R |
| g(x) = 1{x - 2} | D_g = R {2} |
| h(x) = x - 1 | D_h = [1 ,;, +[ |
| k(x) = 1{x} | D_k = ]0 ,;, +[ |
4. Courbe représentative
Courbe représentative : La courbe représentative C_f d'une fonction f dans un repère est l'ensemble des points M(x ,;, f(x)) pour tout x D_f.
[formule]
Lecture graphique : Sur la courbe C_f :
L'image de a se lit en ordonnée du point d'abscisse a
Les antécédents de b se lisent en abscisse des points d'ordonnée b (intersection avec la droite y = b)
5. Tableaux de valeurs
Construire un tableau de valeurs : On choisit plusieurs valeurs de x et on calcule les images correspondantes.
Exemple pour f(x) = x^2 - 3 :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 6 | 1 | -2 | -3 | -2 | 1 | 6 |
Astuce : Le tableau de valeurs permet de repérer des symétries et donne des points pour tracer la courbe. Plus on prend de valeurs, plus le tracé sera précis.
6. Résoudre graphiquement f(x) = k
Méthode graphique : Pour résoudre f(x) = k graphiquement :
Tracer la droite horizontale y = k
Repérer les points d'intersection avec C_f
Lire les abscisses de ces points → ce sont les solutions
Exemple : Pour f(x) = x^2, résoudre f(x) = 4 graphiquement revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la parabole avec y = 4.
On trouve x = -2 et x = 2.
À retenir
Résumé :
Une fonction associe à chaque x de D_f une unique image f(x)
L'image est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents
L'ensemble de définition exclut les valeurs qui rendent f(x) impossible (division par 0, racine de négatif...)
La courbe C_f est l'ensemble des points (x ; f(x))