Convexité et points d'inflexion

Dérivation et convexité — Terminale Maths Complémentaires

Convexité et points d'inflexion

Introduction

La convexité d'une fonction décrit la façon dont sa courbe se courbe. Une fonction convexe « tourne sa concavité vers le haut », tandis qu'une fonction concave la tourne vers le bas. Les points d'inflexion sont les points où la courbe change de convexité.

1. Définition intuitive de la convexité

1.1 Fonction convexe

Définition intuitive : Une fonction f est convexe sur un intervalle I si sa courbe représentative est située au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

De manière équivalente, si on prend deux points A et B sur la courbe, le segment [AB] est situé au-dessus de la courbe.

1.2 Fonction concave

Définition intuitive : Une fonction f est concave sur un intervalle I si sa courbe représentative est située en-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

De manière équivalente, si on prend deux points A et B sur la courbe, le segment [AB] est situé en-dessous de la courbe.

Exemples visuels :

  • La fonction f(x) = x^2 est convexe sur R (sa courbe est une parabole tournée vers le haut).

  • La fonction g(x) = -x^2 est concave sur R (sa courbe est une parabole tournée vers le bas).

  • La fonction h(x) = x^3 change de convexité : concave sur ]-, 0[ et convexe sur ]0, +[.

2. Définition rigoureuse avec la dérivée seconde

2.1 Caractérisation par la dérivée seconde

Théorème : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

  • f est convexe sur I si et seulement si f''(x) 0 pour tout x I

  • f est concave sur I si et seulement si f''(x) 0 pour tout x I

  • Si f''(x) > 0 (respectivement f''(x) < 0) pour tout x I, alors f est strictement convexe (respectivement strictement concave) sur I

Exemple : Pour f(x) = x^2 :

  • f'(x) = 2x

  • f''(x) = 2 > 0 pour tout x R

  • Donc f est strictement convexe sur R.

2.2 Interprétation

Interprétation :

  • Si f'' > 0 : la dérivée f' est croissante, donc la pente de la tangente augmente. La courbe « tourne vers le haut » → convexe.

  • Si f'' < 0 : la dérivée f' est décroissante, donc la pente de la tangente diminue. La courbe « tourne vers le bas » → concave.

3. Caractérisation avec les tangentes

Théorème équivalent : Une fonction f dérivable sur I est convexe sur I si et seulement si pour tout a I et pour tout x I, on a :

[formule]

C'est-à-dire que la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

4. Points d'inflexion

4.1 Définition

Définition : Un point A(a, f(a)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f si la courbe traverse sa tangente en A, c'est-à-dire si la fonction change de convexité en a.

4.2 Caractérisation

Théorème : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et a I.

Si f''(a) = 0 et si f'' change de signe en a, alors A(a, f(a)) est un point d'inflexion.

Attention : La condition f''(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisante. Il faut aussi que f'' change de signe en a.

Exemple : Pour f(x) = x^3 :

  • f'(x) = 3x^2

  • f''(x) = 6x

  • f''(0) = 0

  • Pour x < 0 : f''(x) < 0 (fonction concave)

  • Pour x > 0 : f''(x) > 0 (fonction convexe)

  • Donc f'' change de signe en 0, et A(0, 0) est un point d'inflexion.

5. Méthode pour étudier la convexité

Méthode : Pour étudier la convexité d'une fonction f :

  1. Calculer f''(x)

  2. Déterminer le signe de f''(x) sur le domaine

  3. En déduire les intervalles de convexité et de concavité

  4. Chercher les points d'inflexion (où f'' s'annule et change de signe)

Exemple complet : Étudier la convexité de f(x) = x^4 - 4x^2 + 3.

  • f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 4x(x - 2)(x + 2)

  • f''(x) = 12x^2 - 8 = 4(3x^2 - 2) = 4(3x - 2)(3x + 2)

  • f''(x) = 0 x = -{2}{3} = -{6}{3} ou x = {6}{3}

  • Signe de f'' :

    • Pour x < -{6}{3} : f''(x) > 0 → convexe
    • Pour -{6}{3} < x < {6}{3} : f''(x) < 0 → concave
    • Pour x > {6}{3} : f''(x) > 0 → convexe

  • Points d'inflexion en x = -{6}{3} et x = {6}{3}

6. Relation avec les variations de la dérivée

Propriété :

  • Si f est convexe sur I, alors f' est croissante sur I

  • Si f est concave sur I, alors f' est décroissante sur I

  • Réciproquement, si f' est croissante (respectivement décroissante), alors f est convexe (respectivement concave)

Cette propriété est utile car parfois il est plus facile d'étudier les variations de f' que de calculer f''.

7. Applications de la convexité

7.1 Inégalités

La convexité permet de démontrer des inégalités importantes.

Exemple : inégalité de convexité : Si f est convexe sur [a, b] et si [0, 1], alors :

[formule]

C'est l'inégalité de Jensen.

7.2 Optimisation

Les fonctions convexes ont des propriétés particulières utiles en optimisation.

Propriété : Si f est convexe sur un intervalle I et si f'(a) = 0 pour un point a de I, alors f admet un minimum global en a sur I.

8. Exemples classiques

8.1 Fonction exponentielle

Pour f(x) = e^x :

  • f'(x) = e^x

  • f''(x) = e^x > 0 pour tout x

  • Donc f est strictement convexe sur R.

8.2 Fonction logarithme

Pour f(x) = (x) sur ]0, +[ :

  • f'(x) = 1{x}

  • f''(x) = -1{x^2} < 0 pour tout x > 0

  • Donc f est strictement concave sur ]0, +[.

8.3 Fonction puissance

Pour f(x) = x^n avec n 2 :

  • f''(x) = n(n-1)x^{n-2}

  • Si n est pair : f''(x) 0 → convexe sur R

  • Si n est impair et n 3 : f''(x) < 0 pour x < 0 et f''(x) > 0 pour x > 0 → point d'inflexion en 0

À retenir

Résumé :

  1. Convexité : f'' 0 → fonction convexe (courbe au-dessus des tangentes)

  2. Concavité : f'' 0 → fonction concave (courbe en-dessous des tangentes)

  3. Point d'inflexion : point où f'' s'annule et change de signe

  4. Méthode : calculer f'', étudier son signe, identifier les changements de signe

  5. Les fonctions exponentielles sont convexes, les logarithmes sont concaves.

Conseil : Pour vérifier qu'un point est bien un point d'inflexion, il ne suffit pas que f''(a) = 0. Il faut aussi vérifier que f'' change de signe en a (par exemple en calculant f''(a - ) et f''(a + ) pour un petit > 0).