Rappels de dérivation et dérivée des fonctions composées

Dérivation et convexité — Terminale Maths Complémentaires

Rappels de dérivation et dérivée des fonctions composées

Introduction

La dérivation est un outil fondamental pour étudier les variations d'une fonction et déterminer ses extremums. En Terminale Maths Complémentaires, on approfondit notamment la dérivation des fonctions composées, essentielles pour de nombreuses applications.

1. Rappels : nombre dérivé et fonction dérivée

1.1 Nombre dérivé

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.

Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite (si elle existe) :

[formule]

ou de manière équivalente :

[formule]

Interprétation géométrique : Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

L'équation de la tangente est : y = f'(a)(x - a) + f(a).

1.2 Fonction dérivée

Définition : Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.

La fonction qui à tout x de I associe f'(x) est appelée fonction dérivée de f, notée f'.

2. Dérivées des fonctions usuelles

Tableau des dérivées de référence :

Fonction f(x) Dérivée f'(x) Domaine de dérivabilité
k (constante) 0 R
x 1 R
x^n (n N^*) nx^{n-1} R
1{x} -1{x^2} R^*
x 1{2x} ]0, +[
e^x e^x R
(x) 1{x} ]0, +[
(x) (x) R
(x) -(x) R

3. Opérations sur les dérivées

Opérations algébriques : Si u et v sont dérivables sur un intervalle I, et si est un réel, alors :

  • Somme : (u + v)' = u' + v'

  • Produit par une constante : ( u)' = u'

  • Produit : (uv)' = u'v + uv'

  • Quotient : Si v(x) 0 sur I, alors (u{v})' = u'v - uv'{v^2}

  • Inverse : Si v(x) 0 sur I, alors (1{v})' = -v'{v^2}

Exemples :

  • Dérivée de f(x) = 3x^2 + 5x - 2 :

    f'(x) = 3 2x + 5 1 - 0 = 6x + 5

  • Dérivée de g(x) = x^2 e^x :

    g'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2) = e^x x(x + 2)

  • Dérivée de h(x) = x{x^2 + 1} :

    h'(x) = 1 (x^2 + 1) - x 2x{(x^2 + 1)^2} = x^2 + 1 - 2x^2{(x^2 + 1)^2} = 1 - x^2{(x^2 + 1)^2}

4. Dérivée d'une fonction composée

4.1 Formule de dérivation

Théorème : dérivée d'une fonction composée : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J tel que pour tout x I, on ait u(x) J.

Alors la fonction composée v u (définie par (v u)(x) = v(u(x))) est dérivable sur I et :

[formule]

On note aussi : [v(u(x))]' = u'(x) v'(u(x))

Méthode mnémotechnique : Pour dériver v(u(x)), on dérive d'abord la fonction « extérieure » v en laissant u(x) tel quel, puis on multiplie par la dérivée de la fonction « intérieure » u.

4.2 Cas particuliers importants

Cas particuliers fréquents :

  • Puissance d'une fonction : Si u est dérivable et n N^*, alors :

    [formule]

  • Racine d'une fonction : Si u est dérivable et u(x) > 0, alors :

    [formule]

  • Exponentielle d'une fonction : Si u est dérivable, alors :

    [formule]

  • Logarithme d'une fonction : Si u est dérivable et u(x) > 0, alors :

    [formule]

Exemples :

  • Dérivée de f(x) = (x^2 + 3x - 1)^5 :

    On pose u(x) = x^2 + 3x - 1, donc u'(x) = 2x + 3.

    f'(x) = 5 (2x + 3) (x^2 + 3x - 1)^4 = 5(2x + 3)(x^2 + 3x - 1)^4

  • Dérivée de g(x) = x^2 + 1 :

    On pose u(x) = x^2 + 1, donc u'(x) = 2x.

    g'(x) = 2x{2x^2 + 1} = x{x^2 + 1}

  • Dérivée de h(x) = e^{3x^2 - 2x} :

    On pose u(x) = 3x^2 - 2x, donc u'(x) = 6x - 2.

    h'(x) = (6x - 2) e^{3x^2 - 2x} = 2(3x - 1)e^{3x^2 - 2x}

  • Dérivée de k(x) = (x^2 + 4) :

    On pose u(x) = x^2 + 4, donc u'(x) = 2x.

    k'(x) = 2x{x^2 + 4}

5. Dérivée seconde

Définition : Si f' est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde de f, notée f'', la dérivée de f' :

[formule]

Exemple : Pour f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1 :

  • f'(x) = 3x^2 - 4x + 5

  • f''(x) = 6x - 4

La dérivée seconde est utile pour étudier la convexité d'une fonction (voir leçon 3).

6. Applications de la dérivation

6.1 Sens de variation

Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

  • Si f'(x) > 0 pour tout x I, alors f est strictement croissante sur I.

  • Si f'(x) < 0 pour tout x I, alors f est strictement décroissante sur I.

  • Si f'(x) = 0 pour tout x I, alors f est constante sur I.

6.2 Extremums locaux

Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un point intérieur à I.

Si f admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0.

Réciproque : Si f'(a) = 0 et si f' change de signe en a, alors f admet un extremum local en a.

Exemple : Pour f(x) = x^2 - 4x + 3 :

  • f'(x) = 2x - 4

  • f'(x) = 0 x = 2

  • Pour x < 2, on a f'(x) < 0 (fonction décroissante)

  • Pour x > 2, on a f'(x) > 0 (fonction croissante)

  • Donc f admet un minimum en x = 2 : f(2) = -1

À retenir

Résumé :

  1. Dérivée d'une composée : [v(u(x))]' = u'(x) v'(u(x))

  2. Cas particuliers :

    • [u(x)^n]' = n u'(x) u(x)^{n-1}
    • [u(x)]' = u'(x){2u(x)}
    • [e^{u(x)}]' = u'(x) e^{u(x)}
    • [(u(x))]' = u'(x){u(x)}

  3. Sens de variation : f' > 0 implique f croissante, f' < 0 implique f décroissante.

  4. Extremum : Si f'(a) = 0 et f' change de signe en a, alors f admet un extremum en a.

Conseil pratique : Pour dériver une fonction composée :

  1. Identifier la fonction « intérieure » u et la fonction « extérieure » v
  2. Dériver v en laissant u(x) tel quel
  3. Multiplier par la dérivée de u