Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Introduction

La continuité est une propriété fondamentale des fonctions qui exprime l'idée intuitive qu'une fonction ne « saute » pas. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est une conséquence importante de la continuité, très utile pour résoudre des équations et prouver l'existence de solutions.

1. Continuité en un point

1.1 Définition

Définition : Une fonction f est continue en un point a de son domaine si :

f est définie en a (c'est-à-dire a appartient au domaine de définition)
La limite de f en a existe et est finie
Cette limite est égale à f(a) :

[formule]

Exemple : La fonction f(x) = x^2 est continue en a = 2 car :

f(2) = 4
_{x 2} x^2 = 4
Donc _{x 2} x^2 = f(2)

1.2 Continuité à gauche et à droite

Définition :

f est continue à gauche en a si _{x a^-} f(x) = f(a)
f est continue à droite en a si _{x a^+} f(x) = f(a)
f est continue en a si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en a.

Exemple : Pour la fonction partie entière f(x) = x (le plus grand entier inférieur ou égal à x) :

En a = 2 :

_{x 2^-} x = 1 mais f(2) = 2
_{x 2^+} x = 2 = f(2)

La fonction n'est pas continue en 2 car elle n'est pas continue à gauche.

2. Continuité sur un intervalle

Définition : Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.

Si I = [a, b], on exige la continuité à droite en a et à gauche en b.
Si I = ]a, b[, on exige la continuité en tout point de ]a, b[.

Fonctions continues usuelles : Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :

Fonctions polynômes : continues sur R
Fonctions rationnelles : continues sur leur domaine (tous les réels sauf les valeurs annulant le dénominateur)
Fonction racine carrée : continue sur [0, +[
Fonction exponentielle : continue sur R
Fonction logarithme : continue sur ]0, +[
Fonctions trigonométriques : continues sur leur domaine

3. Opérations sur les fonctions continues

Opérations : Si f et g sont continues en a (ou sur un intervalle I), alors :

Somme : f + g est continue en a (ou sur I)
Produit : f g est continue en a (ou sur I)
Quotient : f{g} est continue en a (ou sur I) si g(a) 0
Composée : f g est continue en a si g est continue en a et f est continue en g(a)

Exemple : La fonction h(x) = x^2 + 1 est continue sur R car :

g(x) = x^2 + 1 est continue sur R (polynôme)
f(x) = x est continue sur [0, +[
Pour tout x R, on a x^2 + 1 1 > 0, donc g(x) [0, +[
Donc h = f g est continue sur R

4. Discontinuités

Une fonction peut présenter différents types de discontinuités :

4.1 Discontinuité de première espèce (saut)

Définition : f présente une discontinuité de première espèce (ou saut) en a si les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes :

[formule]

Le saut est la différence entre ces deux limites.

4.2 Discontinuité de seconde espèce

Définition : f présente une discontinuité de seconde espèce en a si au moins une des limites à gauche ou à droite n'existe pas ou est infinie.

Exemple : Pour f(x) = cases x + 1 & si x < 0 x^2 & si x 0 cases :

En a = 0 :

_{x 0^-} f(x) = _{x 0^-} (x + 1) = 1
_{x 0^+} f(x) = _{x 0^+} x^2 = 0
f(0) = 0

Il y a un saut de 1 en 0. La fonction n'est pas continue en 0.

5. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

5.1 Énoncé

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) (c'est-à-dire k [f(a), f(b)] ou k [f(b), f(a)]), il existe au moins un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k.

Exemple intuitif : Si une température passe de 10°C à 20°C de manière continue entre 8h et 12h, alors à un moment donné entre 8h et 12h, la température était exactement de 15°C.

5.2 Cas particulier : théorème de Bolzano

Théorème de Bolzano : Si f est continue sur [a, b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés (l'un positif, l'autre négatif), alors il existe au moins un réel c dans ]a, b[ tel que f(c) = 0.

Ce théorème est très utile pour prouver l'existence de solutions d'équations.

Exemple : Montrer que l'équation x^3 - x - 1 = 0 admet au moins une solution dans [1, 2].

On pose f(x) = x^3 - x - 1. Cette fonction est continue sur R (polynôme).

f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0
f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0

Comme f(1) < 0 et f(2) > 0, d'après le théorème de Bolzano, il existe au moins un réel c dans ]1, 2[ tel que f(c) = 0, c'est-à-dire c^3 - c - 1 = 0.

6. Applications du TVI

6.1 Résolution d'équations

Le TVI permet de prouver l'existence de solutions et de les localiser par dichotomie (méthode de balayage).

Méthode de dichotomie : Pour trouver une solution de f(x) = 0 sur [a, b] :

Vérifier que f(a) et f(b) sont de signes opposés
Calculer f(a + b{2})
Choisir le nouvel intervalle [a, a+b{2}] ou [a+b{2}, b] selon le signe
Répéter jusqu'à obtenir la précision souhaitée

6.2 Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème : Si f est continue sur un intervalle I, alors l'image f(I) est aussi un intervalle.

De plus, si I = [a, b] est un segment, alors f([a, b]) est un segment [m, M] où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur [a, b].

7. Continuité et limites

Propriété importante : Si f est continue en a et si _{x a} g(x) = a, alors :

[formule]

C'est la propriété de continuité de la composition.

Exemple : Calculer _{x 0} x^2 + 1.

Comme x est continue sur [0, +[ et _{x 0} (x^2 + 1) = 1, on a :

[formule]

À retenir

Résumé :

Continuité en a : _{x a} f(x) = f(a)
Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes) sont continues sur leur domaine.
TVI : Si f est continue sur [a, b] et si k est entre f(a) et f(b), alors il existe c [a, b] tel que f(c) = k.
Théorème de Bolzano : Si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois dans ]a, b[.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Conseil pratique : Pour prouver qu'une équation f(x) = 0 admet une solution :

Vérifier que f est continue sur un intervalle [a, b]
Calculer f(a) et f(b)
Vérifier qu'ils sont de signes opposés
Appliquer le théorème de Bolzano