Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Introduction

La continuité est une propriété fondamentale des fonctions qui exprime l'idée intuitive qu'une fonction ne « saute » pas. Le [[theoreme-valeurs-intermediaires|théorème des valeurs intermédiaires]] (TVI) est une conséquence importante de la continuité, très utile pour résoudre des équations et prouver l'existence de solutions.

1. Continuité en un point

1.1 Définition

Définition : Une fonction f est continue en un point a de son domaine si :

f est définie en a (c'est-à-dire a appartient au domaine de définition)
La limite de f en a existe et est finie
Cette limite est égale à f(a) :

[formule]

Exemple : La fonction f(x) = x^2 est continue en a = 2 car :

f(2) = 4
_{x 2} x^2 = 4
Donc _{x 2} x^2 = f(2)

1.2 Continuité à gauche et à droite

Définition :

f est continue à gauche en a si _{x a^-} f(x) = f(a)
f est continue à droite en a si _{x a^+} f(x) = f(a)
f est continue en a si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en a.

Exemple : Pour la fonction partie entière f(x) = x (le plus grand entier inférieur ou égal à x) :

En a = 2 :

_{x 2^-} x = 1 mais f(2) = 2
_{x 2^+} x = 2 = f(2)

La fonction n'est pas continue en 2 car elle n'est pas continue à gauche.

2. Continuité sur un intervalle

Définition : Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.

Si I = [a, b], on exige la continuité à droite en a et à gauche en b.
Si I = ]a, b[, on exige la continuité en tout point de ]a, b[.

Fonctions continues usuelles : Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :

Fonctions polynômes : continues sur R
Fonctions rationnelles : continues sur leur domaine (tous les réels sauf les valeurs annulant le dénominateur)
Fonction racine carrée : continue sur [0, +[
[[fonction-exponentielle|Fonction exponentielle]] : continue sur R
Fonction logarithme : continue sur ]0, +[
Fonctions trigonométriques : continues sur leur domaine

3. Opérations sur les fonctions continues

Opérations : Si f et g sont continues en a (ou sur un intervalle I), alors :

Somme : f + g est continue en a (ou sur I)
Produit : f g est continue en a (ou sur I)
Quotient : f{g} est continue en a (ou sur I) si g(a) 0
Composée : f g est continue en a si g est continue en a et f est continue en g(a)

Exemple : La fonction h(x) = x^2 + 1 est continue sur R car :

g(x) = x^2 + 1 est continue sur R (polynôme)
f(x) = x est continue sur [0, +[
Pour tout x R, on a x^2 + 1 1 > 0, donc g(x) [0, +[
Donc h = f g est continue sur R

4. Discontinuités

Une fonction peut présenter différents types de discontinuités :

4.1 Discontinuité de première espèce (saut)

Définition : f présente une discontinuité de première espèce (ou saut) en a si les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes :

[formule]

Le saut est la différence entre ces deux limites.

4.2 Discontinuité de seconde espèce

Définition : f présente une discontinuité de seconde espèce en a si au moins une des limites à gauche ou à droite n'existe pas ou est infinie.

Exemple : Pour f(x) = cases x + 1 & si x < 0 x^2 & si x 0 cases :

En a = 0 :

_{x 0^-} f(x) = _{x 0^-} (x + 1) = 1
_{x 0^+} f(x) = _{x 0^+} x^2 = 0
f(0) = 0

Il y a un saut de 1 en 0. La fonction n'est pas continue en 0.

5. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

5.1 Énoncé

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) (c'est-à-dire k [f(a), f(b)] ou k [f(b), f(a)]), il existe au moins un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k.

Exemple intuitif : Si une température passe de 10°C à 20°C de manière continue entre 8h et 12h, alors à un moment donné entre 8h et 12h, la température était exactement de 15°C.

5.2 Cas particulier : théorème de Bolzano

Théorème de Bolzano : Si f est continue sur [a, b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés (l'un positif, l'autre négatif), alors il existe au moins un réel c dans ]a, b[ tel que f(c) = 0.

Ce théorème est très utile pour prouver l'existence de solutions d'équations.

Exemple : Montrer que l'équation x^3 - x - 1 = 0 admet au moins une solution dans [1, 2].

On pose f(x) = x^3 - x - 1. Cette fonction est continue sur R (polynôme).

f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0
f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0

Comme f(1) < 0 et f(2) > 0, d'après le théorème de Bolzano, il existe au moins un réel c dans ]1, 2[ tel que f(c) = 0, c'est-à-dire c^3 - c - 1 = 0.

6. Applications du TVI

6.1 Résolution d'équations

Le TVI permet de prouver l'existence de solutions et de les localiser par dichotomie (méthode de balayage).

Méthode de dichotomie : Pour trouver une solution de f(x) = 0 sur [a, b] :

Vérifier que f(a) et f(b) sont de signes opposés
Calculer f(a + b{2})
Choisir le nouvel intervalle [a, a+b{2}] ou [a+b{2}, b] selon le signe
Répéter jusqu'à obtenir la précision souhaitée

6.2 Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème : Si f est continue sur un intervalle I, alors l'image f(I) est aussi un intervalle.

De plus, si I = [a, b] est un segment, alors f([a, b]) est un segment [m, M] où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur [a, b].

7. Continuité et limites

Propriété importante : Si f est continue en a et si _{x a} g(x) = a, alors :

[formule]

C'est la propriété de continuité de la composition.

Exemple : Calculer _{x 0} x^2 + 1.

Comme x est continue sur [0, +[ et _{x 0} (x^2 + 1) = 1, on a :

[formule]

À retenir

Résumé :

Continuité en a : _{x a} f(x) = f(a)
Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes) sont continues sur leur domaine.
TVI : Si f est continue sur [a, b] et si k est entre f(a) et f(b), alors il existe c [a, b] tel que f(c) = k.
Théorème de Bolzano : Si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois dans ]a, b[.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Conseil pratique : Pour prouver qu'une équation f(x) = 0 admet une solution :

Vérifier que f est continue sur un intervalle [a, b]
Calculer f(a) et f(b)
Vérifier qu'ils sont de signes opposés
Appliquer le théorème de Bolzano