Asymptotes horizontales et verticales

Introduction

Les asymptotes sont des droites vers lesquelles une courbe se rapproche de plus en plus sans jamais les atteindre (ou les atteindre à l'infini). Comprendre les asymptotes permet de mieux visualiser le comportement des fonctions, notamment les fonctions rationnelles. Cette leçon vous permettra de maîtriser la recherche et l'interprétation des asymptotes horizontales et verticales.

1. Asymptote verticale

1.1 Définition

Définition : La droite d'équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f si au moins une des limites suivantes est infinie :

[formule]

On note aussi : f(x) x a

Exemple : Pour la fonction f(x) = 1{x}, on a :

_{x 0^-} 1{x} = -
_{x 0^+} 1{x} = +

Donc la droite x = 0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe de f.

Interprétation graphique : Quand x s'approche de a, la courbe se rapproche de plus en plus de la droite verticale x = a sans jamais la toucher. La courbe "monte" ou "descend" vers l'infini.

2. Recherche d'asymptotes verticales

2.1 Méthode générale

Méthode : Pour trouver les asymptotes verticales d'une fonction f :

Identifier les valeurs problématiques : Les valeurs de x où f n'est pas définie (dénominateur nul, logarithme de nombre négatif, etc.).
Calculer les limites : Pour chaque valeur a problématique, calculer _{x a^-} f(x) et _{x a^+} f(x).
Conclure : Si au moins une de ces limites est infinie, alors x = a est une asymptote verticale.

2.2 Cas des fonctions rationnelles

Fonctions rationnelles : Pour une fonction rationnelle f(x) = P(x){Q(x)} où P et Q sont des polynômes :

Si Q(a) = 0 et P(a) 0, alors x = a est une asymptote verticale.
Si Q(a) = 0 et P(a) = 0, on factorise pour simplifier (il peut y avoir une discontinuité ou une asymptote selon le cas).

Exemple : Soit f(x) = x + 1{x - 2}.

Étape 1 : La fonction n'est pas définie en x = 2 (dénominateur nul).

Étape 2 : Calculons les limites :

_{x 2^-} x + 1{x - 2} = 3{0^-} = -
_{x 2^+} x + 1{x - 2} = 3{0^+} = +

Étape 3 : La droite x = 2 est une asymptote verticale.

Exemple avec simplification : Soit f(x) = x^2 - 4{x - 2} = (x-2)(x+2){x-2}.

Pour x 2, on peut simplifier : f(x) = x + 2.

En x = 2, le numérateur et le dénominateur s'annulent. Après simplification, f(x) = x + 2 pour x 2, donc _{x 2} f(x) = 4.

Il n'y a pas d'asymptote verticale en x = 2, mais une discontinuité (un "trou" dans la courbe).

3. Asymptote horizontale

3.1 Définition

Définition : La droite d'équation y = L (où L est un réel) est une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f si :

[formule]

Une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales différentes (une en + et une en -).

Exemple : Pour la fonction f(x) = 1{x} + 2, on a :

_{x +} (1{x} + 2) = 0 + 2 = 2
_{x -} (1{x} + 2) = 0 + 2 = 2

Donc la droite y = 2 est une asymptote horizontale (en + et en -).

Interprétation graphique : Quand x devient très grand (en valeur absolue), la courbe se rapproche de plus en plus de la droite horizontale y = L sans jamais la toucher (ou en la touchant à l'infini).

4. Recherche d'asymptotes horizontales

4.1 Méthode générale

Méthode : Pour trouver les asymptotes horizontales d'une fonction f :

Calculer la limite en + : _{x +} f(x)
- Si cette limite est un réel L, alors y = L est une asymptote horizontale en +.
- Si cette limite est , il n'y a pas d'asymptote horizontale en + (il peut y avoir une asymptote oblique).
Calculer la limite en - : _{x -} f(x)
- Même principe qu'en +.

4.2 Cas des fonctions rationnelles

Fonctions rationnelles : Pour une fonction rationnelle f(x) = P(x){Q(x)} où P et Q sont des polynômes :

Si (P) < (Q) : _{x } f(x) = 0 → Asymptote horizontale y = 0.
Si (P) = (Q) : _{x } f(x) = a{b} où a et b sont les coefficients dominants → Asymptote horizontale y = a{b}.
Si (P) > (Q) : _{x } f(x) = → Pas d'asymptote horizontale (il peut y avoir une asymptote oblique).

Exemple 1 : degré du numérateur < degré du dénominateur : Soit f(x) = 2x + 1{x^2 - 3x + 2}.

Le degré du numérateur est 1, celui du dénominateur est 2.

En factorisant par x^2 au dénominateur et par x au numérateur :

[formule]

Quand x , on a 1{x} 0, donc :

[formule]

La droite y = 0 (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale.

Exemple 2 : degrés égaux : Soit f(x) = 3x^2 - 2x + 1{2x^2 + x - 5}.

Les degrés sont égaux (degré 2). On factorise par x^2 :

[formule]

Quand x :

[formule]

La droite y = 3{2} est une asymptote horizontale.

Exemple 3 : degré du numérateur > degré du dénominateur : Soit f(x) = x^3 + 2x{x^2 - 1}.

Le degré du numérateur (3) est supérieur au degré du dénominateur (2).

[formule]

Il n'y a pas d'asymptote horizontale. Il y aura une asymptote oblique (voir leçon suivante).

5. Position relative de la courbe par rapport à l'asymptote

5.1 Étude du signe de f(x) - L

Méthode : Pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote horizontale y = L :

Calculer f(x) - L.
Étudier le signe de f(x) - L quand x + (ou x -).
Interpréter :
- Si f(x) - L > 0 pour x grand → La courbe est au-dessus de l'asymptote.
- Si f(x) - L < 0 pour x grand → La courbe est en dessous de l'asymptote.

Exemple : Soit f(x) = 2x + 1{x - 1}.

Asymptote horizontale : _{x } f(x) = _{x } 2x{x} = 2.

Donc y = 2 est une asymptote horizontale.

Position relative : [formule]

Quand x + : 3{x - 1} > 0 → La courbe est au-dessus de l'asymptote.

Quand x - : 3{x - 1} < 0 → La courbe est en dessous de l'asymptote.

6. Exemples complets

6.1 Fonction avec asymptotes verticale et horizontale

Exemple complet : Soit f(x) = 3x - 1{2x + 4}.

Domaine de définition : 2x + 4 0 x -2

Asymptote verticale :

_{x -2^-} f(x) = _{x -2^-} 3x - 1{2x + 4} = -7{0^-} = +
_{x -2^+} f(x) = _{x -2^+} 3x - 1{2x + 4} = -7{0^+} = -

Donc x = -2 est une asymptote verticale.

Asymptote horizontale : [formule]

Donc y = 3{2} est une asymptote horizontale.

Position relative : [formule]

Quand x + : f(x) - 3{2} < 0 → La courbe est en dessous de l'asymptote.

Quand x - : f(x) - 3{2} > 0 → La courbe est au-dessus de l'asymptote.

6.2 Fonction avec plusieurs asymptotes verticales

Exemple : Soit f(x) = x + 1{(x - 1)(x + 3)}.

Domaine de définition : x 1 et x -3

Asymptotes verticales :

En x = 1 : _{x 1^-} f(x) = 2{0^- 4} = - et _{x 1^+} f(x) = + → x = 1 est une asymptote verticale.
En x = -3 : _{x -3^-} f(x) = -2{-4 0^-} = + et _{x -3^+} f(x) = - → x = -3 est une asymptote verticale.

Asymptote horizontale : [formule]

Donc y = 0 est une asymptote horizontale.

7. Interprétation graphique

7.1 Comportement aux bornes

Conseil : Pour tracer une courbe avec asymptotes :

Tracer les asymptotes en pointillés.
Déterminer le comportement :
- Près d'une asymptote verticale x = a : la courbe "monte" ou "descend" vers l'infini.
- Près d'une asymptote horizontale y = L : la courbe se rapproche de la droite.
Position relative : Vérifier si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote horizontale.
Points remarquables : Calculer quelques valeurs pour préciser le tracé.

À retenir

Résumé :

Asymptote verticale x = a : _{x a} f(x) =
Asymptote horizontale y = L : _{x } f(x) = L
Pour les fonctions rationnelles :
- Asymptote verticale si le dénominateur s'annule (et le numérateur non).
- Asymptote horizontale selon les degrés des polynômes.
Position relative : Étudier le signe de f(x) - L pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote horizontale.

Conseil pratique : Pour étudier les asymptotes d'une fonction :

Déterminer le domaine de définition.
Chercher les asymptotes verticales (valeurs où la fonction n'est pas définie).
Calculer les limites en pour les asymptotes horizontales.
Étudier la position relative si nécessaire.
Tracer les asymptotes et le comportement de la courbe.

Points d'attention :

Une fonction peut avoir plusieurs asymptotes verticales.
Une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales différentes (une en +, une en -).
Ne pas confondre asymptote verticale et discontinuité (trou dans la courbe).
Vérifier toujours les conditions d'existence avant de calculer les limites.