Limites de fonctions en l'infini et en un point

Fonctions : limites et continuité — Terminale Maths Complémentaires

Limites de fonctions en l'infini et en un point

Introduction

La notion de limite permet de décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur donnée ou tend vers l'infini. C'est un outil fondamental pour comprendre les fonctions et leurs applications.

1. Limite en l'infini

1.1 Limite en +

Définition : On dit que la fonction f a pour limite L en + (où L est un réel) si, pour tout nombre A aussi grand que l'on veut, il existe un nombre B tel que pour tout x > B, on a f(x) > A.

On note : _{x +} f(x) = L ou f(x) x + L.

Exemples intuitifs :

  • Pour f(x) = 1{x} : quand x devient très grand, 1{x} devient très proche de 0. On écrit _{x +} 1{x} = 0.

  • Pour f(x) = x^2 : quand x devient très grand, x^2 devient très grand aussi. On écrit _{x +} x^2 = +.

1.2 Limite en -

De manière similaire, on définit la limite en - :

Définition : On dit que la fonction f a pour limite L en - si, pour tout nombre A aussi grand que l'on veut, il existe un nombre B tel que pour tout x < B, on a f(x) > A (ou f(x) < -A selon le cas).

On note : _{x -} f(x) = L.

2. Limites de référence

Limites à connaître : Pour les fonctions usuelles :

  • Fonction inverse : _{x +} 1{x} = 0 et _{x -} 1{x} = 0

  • Fonction carré : _{x +} x^2 = + et _{x -} x^2 = +

  • Fonction racine : _{x +} x = +

  • Fonction exponentielle : _{x +} e^x = + et _{x -} e^x = 0

  • Fonction logarithme : _{x +} (x) = + et _{x 0^+} (x) = -

3. Limite en un point réel

3.1 Limite finie en un point

Définition : On dit que la fonction f a pour limite L (réel) en a si, pour tout nombre > 0 aussi petit que l'on veut, il existe un nombre > 0 tel que pour tout x vérifiant |x - a| < (avec x a), on a |f(x) - L| < .

On note : _{x a} f(x) = L.

Exemple : Pour f(x) = x^2 en a = 2 : quand x s'approche de 2, x^2 s'approche de 4. On a _{x 2} x^2 = 4.

3.2 Limite infinie en un point

Définition : On dit que la fonction f a pour limite + en a si, pour tout nombre A aussi grand que l'on veut, il existe un nombre > 0 tel que pour tout x vérifiant |x - a| < (avec x a), on a f(x) > A.

On note : _{x a} f(x) = +.

Exemple : Pour f(x) = 1{x^2} en a = 0 : quand x s'approche de 0, 1{x^2} devient très grand. On a _{x 0} 1{x^2} = +.

4. Limites à gauche et à droite

Parfois, la limite peut être différente selon qu'on s'approche de a par la gauche ou par la droite.

Définition :

  • Limite à gauche : _{x a^-} f(x) = L signifie que x s'approche de a en restant inférieur à a.

  • Limite à droite : _{x a^+} f(x) = L signifie que x s'approche de a en restant supérieur à a.

Théorème : Une fonction f a une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et sont égales :

[formule]

Exemple : Pour f(x) = 1{x} en a = 0 :

  • _{x 0^-} 1{x} = - (quand x est négatif et proche de 0)
  • _{x 0^+} 1{x} = + (quand x est positif et proche de 0)

Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc _{x 0} 1{x} n'existe pas.

5. Opérations sur les limites

Opérations algébriques : Si _{x a} f(x) = L et _{x a} g(x) = M (où a peut être un réel ou ), alors :

  • Somme : _{x a} [f(x) + g(x)] = L + M

  • Produit : _{x a} [f(x) g(x)] = L M

  • Quotient : Si M 0, alors _{x a} f(x){g(x)} = L{M}

  • Composée : {x a} f(g(x)) = f({x a} g(x)) (sous certaines conditions)

Attention : Ces règles ne s'appliquent que si les limites existent et sont finies. Les formes indéterminées (+ - , 0 , 0{0}, {}) nécessitent des techniques spéciales.

6. Formes indéterminées

Certaines situations nécessitent une analyse plus approfondie :

Formes indéterminées courantes :

  1. **+ - ** : Il faut factoriser ou mettre au même dénominateur.

  2. **0 ** : On transforme en quotient ou on factorise.

  3. 0{0} : On factorise, on simplifie ou on utilise la dérivée (règle de l'Hôpital en Terminale).

  4. {} : On factorise par le terme dominant.

Exemple : Calculer _{x +} (x^2 - x).

C'est une forme indéterminée + - . On factorise par x^2 :

[formule]

Quand x +, on a 1{x} 0, donc 1 - 1{x} 1 et x^2 +.

Ainsi : _{x +} (x^2 - x) = +.

7. Limites de fonctions rationnelles

Pour les fonctions rationnelles (quotient de polynômes), on utilise la règle suivante :

Méthode : Pour f(x) = P(x){Q(x)} où P et Q sont des polynômes :

  • En : on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

  • En un point a : si Q(a) = 0 et P(a) 0, la limite est infinie. Si P(a) = Q(a) = 0, on factorise.

Exemple : Calculer _{x +} 3x^2 + 2x - 1{2x^2 - 5x + 1}.

On factorise par x^2 :

[formule]

Quand x +, tous les termes en 1{x} et 1{x^2} tendent vers 0.

Donc : _{x +} 3x^2 + 2x - 1{2x^2 - 5x + 1} = 3{2}.

À retenir

Résumé :

  1. La limite décrit le comportement d'une fonction quand la variable s'approche d'une valeur.

  2. Les limites en et en un point réel sont définies de manière rigoureuse.

  3. Les limites à gauche et à droite peuvent être différentes.

  4. Les opérations algébriques sur les limites fonctionnent si les limites existent et sont finies.

  5. Les formes indéterminées nécessitent des techniques spéciales (factorisation, simplification).

Conseil pratique : Pour calculer une limite :

  1. Vérifier si c'est une forme indéterminée
  2. Factoriser par le terme dominant en
  3. Simplifier les fractions rationnelles
  4. Utiliser les limites de référence