Répétition d'épreuves de Bernoulli, simulation et hasard
Introduction
Tirer trois penalties, lancer quatre fois une pièce, répondre au hasard à un QCM : on répète la même expérience, et chaque essai réussit ou échoue. Un arbre suffit pour calculer toutes les probabilités, tant que l'on ne répète pas plus de quatre fois. Cette leçon montre aussi ce que dit la simulation : sur un grand nombre d'essais, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.
1. Épreuve de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues :
- le succès, noté S, de probabilité p ;
- l'échec, noté S̅, de probabilité 1 - p.
Exemples :
- Lancer une pièce équilibrée, succès = « pile » : p = 1/2.
- Lancer un dé équilibré, succès = « obtenir 6 » : p = 1/6, et l'échec « ne pas obtenir 6 » a pour probabilité 5/6.
- Tirer un penalty, succès = « marquer », pour un joueur qui marque dans 80 % des cas : p = 0,8.
Le succès est un choix : « Succès » ne veut pas dire « bonne nouvelle » : c'est l'issue qu'on décide de compter. Pour un contrôle de fabrication, le succès peut très bien être « la pièce est défectueuse ».
2. Répéter une épreuve de façon identique et indépendante
On répète n fois la même épreuve de Bernoulli :
- identique : la probabilité du succès est la même à chaque essai ;
- indépendante : le résultat d'un essai ne modifie pas les probabilités des autres.
Avec ou sans remise : Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues ; succès = « tirer une rouge ».
- Avec remise : l'urne est la même à chaque tirage, p = 0,3 à chaque fois. Les tirages sont des épreuves identiques et indépendantes.
- Sans remise : après une rouge, il ne reste que 2 rouges sur 9 boules. La probabilité change : ce n'est pas une répétition d'épreuves identiques et indépendantes.
L'indépendance est une hypothèse du modèle : Dans la réalité, rien ne garantit qu'un joueur fatigué marque toujours avec la même probabilité. Dire que les essais sont identiques et indépendants, c'est choisir un modèle. On l'écrit dans la réponse : « on admet que les tirs sont indépendants ».
3. Deux épreuves : l'arbre
Un joueur tire deux penalties ; il marque à chaque tir avec la probabilité 0,8, indépendamment d'un tir à l'autre.
L'arbre a deux niveaux, un par tir. De chaque nœud partent deux branches : S (probabilité 0,8) et S̅ (probabilité 0,2). Il y a 2 × 2 = 4 chemins.
Calculer avec l'arbre :
- Probabilité d'un chemin : on multiplie les probabilités de ses branches (les essais sont indépendants).
- Probabilité d'un événement : on repère tous les chemins qui le réalisent, et on additionne leurs probabilités.
| chemin | probabilité |
|---|---|
| SS | 0,8 × 0,8 = 0,64 |
| SS̅ | 0,8 × 0,2 = 0,16 |
| S̅S | 0,2 × 0,8 = 0,16 |
| S̅ S̅ | 0,2 × 0,2 = 0,04 |
Contrôle : 0,64 + 0,16 + 0,16 + 0,04 = 1.
Lire les réponses :
- Deux buts : un seul chemin, SS : probabilité 0,64.
- Exactement un but : deux chemins, SS̅ (il marque le premier) et S̅S (il marque le second) : 0,16 + 0,16 = 0,32.
- Au moins un but : le contraire est « aucun but », un seul chemin S̅ S̅ : 1 - 0,04 = 0,96.
4. Trois épreuves : l'arbre à huit chemins
On lance trois fois une pièce équilibrée ; succès = « pile » (P), échec = « face » (F), avec p = 1/2.
L'arbre ci-dessus a trois niveaux, un par lancer, et 2 × 2 × 2 = 8 chemins. Il se lit de gauche à droite : chaque chemin est une suite de trois résultats, par exemple PFP. En bout de chemin figure sa probabilité : 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, la même pour les huit chemins.
Lire les réponses :
- Exactement deux piles : trois chemins, PPF, PFP et FPP (la face peut tomber au 3e, au 2e ou au 1er lancer) : 3 × 1/8 = 3/8.
- Au moins un pile : le contraire, « aucun pile », est le seul chemin FFF : 1 - 1/8 = 7/8.
Probabilité d'un chemin : Pour n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès p, un chemin qui comporte k succès et n - k échecs a pour probabilité
pᵏ × (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ
quel que soit l'ordre des succès et des échecs.
5. Quatre épreuves : compter les chemins
L'arbre de quatre épreuves a 2⁴ = 16 chemins : on peut encore le dessiner, mais pour calculer, on les compte selon leur nombre de succès. Sur l'arbre ci-dessus (avec p = 1/2), les chemins à deux succès sont en surbrillance : il y en a 6.
| nombre de succès | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| nombre de chemins | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
- Un succès : il suffit de choisir lequel des quatre essais réussit, soit 4 chemins : SS̅ S̅ S̅, S̅SS̅ S̅, S̅ S̅SS̅, S̅ S̅ S̅S.
- Deux succès : on les liste, il y en a 6 : SSS̅ S̅, SS̅SS̅, SS̅ S̅S, S̅SSS̅, S̅SS̅S, S̅ S̅SS.
Contrôle : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.
Répondre au hasard à un QCM : Un QCM a 4 questions, chacune avec 3 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard, indépendamment d'une question à l'autre : succès = « bonne réponse », p = 1/3.
- Tout juste : un seul chemin, (1/3)⁴ = 1/81 ≈ 0,012.
- Aucune bonne réponse : un seul chemin, (2/3)⁴ = 16/81 ≈ 0,198.
- Au moins une bonne réponse : 1 - 16/81 = 65/81 ≈ 0,802.
Au-delà de quatre épreuves : L'arbre devient trop grand pour être dessiné, et compter ses chemins sans le dessiner dépasse le programme de cette année : ici, on s'arrête à quatre épreuves.
6. « Au moins un » : passer par le contraire
« Au moins un succès » regroupe beaucoup de chemins : 3 sur 4 pour deux épreuves, 15 sur 16 pour quatre. Son contraire, « aucun succès », n'en compte qu'un : celui où tous les essais échouent.
Calculer la probabilité d'au moins un succès : P(au moins un succès) = 1 - P(aucun succès) = 1 - (1 - p)ⁿ
L'erreur classique : Calculer pⁿ au lieu de (1 - p)ⁿ : pⁿ est la probabilité que tous les essais réussissent, pas qu'aucun ne réussisse.
7. Simuler : la fréquence se rapproche de la probabilité
On peut simuler une expérience aléatoire avec un tableur ou un programme, en la répétant un très grand nombre de fois, de façon indépendante.
Une simulation : On lance une pièce équilibrée ; si elle tombe sur pile, on a gagné ; sinon, on la relance une seconde fois, et l'on gagne si elle tombe alors sur pile. La probabilité de gagner est 1/2 + 1/2 × 1/2 = 3/4 = 0,75.
Au tableur, la formule =ALEA() donne un nombre au hasard entre 0 et 1 : il est inférieur à 0,5 une fois sur deux, ce qui simule un lancer (« pile » si ALEA() < 0,5). En Python, random() joue le même rôle. Un programme a ainsi simulé ce jeu ; voici la fréquence des parties gagnées :
| nombre de parties | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|
| parties gagnées | 8 | 78 | 768 | 7 492 |
| fréquence | 0,8 | 0,78 | 0,768 | 0,7492 |
Loi des grands nombres (version vulgarisée) : Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, de façon indépendante, la fréquence observée d'un événement est, sauf exception, proche de sa probabilité. Plus le nombre de répétitions est grand, plus un écart important devient rare.
Ce que la loi des grands nombres ne dit pas :
- La fréquence n'est pas égale à la probabilité : sur 10 000 parties, on a obtenu 0,7492, pas 0,75.
- Le hasard ne compense pas : après cinq piles de suite, une pièce équilibrée a toujours une chance sur deux de tomber sur pile. Les lancers sont indépendants ; la pièce n'a pas de mémoire.
8. Modèle et réalité
Une probabilité est une hypothèse du modèle choisi, pas une propriété qu'on démontre :
- pour une pièce, un dé ou une urne, on suppose les issues équiprobables par symétrie ;
- pour une punaise qui tombe « pointe en haut » ou « pointe en bas », aucune symétrie ne s'applique : on estime la probabilité par la fréquence observée sur un grand nombre de lancers, grâce à la loi des grands nombres.
Le modèle n'est pas la réalité : une vraie pièce n'est jamais parfaitement équilibrée, et de vrais essais ne sont jamais parfaitement indépendants. On choisit le modèle qui décrit le mieux les observations.
Un peu d'histoire : Les probabilités sont nées de questions de jeux. En 1654, Pascal et Fermat s'écrivent pour résoudre le problème des partis : comment partager équitablement la mise d'une partie interrompue ? En 1754, d'Alembert se trompe sur le jeu de croix ou pile — c'est le jeu simulé à la partie 7. Ces deux problèmes se résolvent avec un arbre ; on les retrouve dans les exercices du chapitre.
À retenir
Résumé :
Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès de probabilité p, échec de probabilité 1 - p.
Répétition identique et indépendante : même p à chaque essai, aucun essai n'influence les autres (tirages avec remise).
Arbre : n niveaux, 2ⁿ chemins (4, 8 ou 16). On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l'événement.
Un chemin à k succès : pᵏ (1 - p)ⁿ ⁻ ᵏ. Chemins pour 4 épreuves, selon le nombre de succès : 1, 4, 6, 4, 1.
Au moins un succès : 1 - (1 - p)ⁿ.
Loi des grands nombres : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est proche de la probabilité, sans lui être égale.