Probabilités conditionnelles et arbres pondérés
Introduction
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. Les arbres pondérés sont un outil visuel très efficace pour représenter et calculer ces probabilités. Cette leçon vous permettra de maîtriser ces concepts essentiels.
1. Probabilité conditionnelle : définition
Définition : Soit A et B deux événements d'un univers , avec P(B) 0.
La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P_B(A) ou P(A|B), est :
[formule]
Exemple : Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles et 12 sont des garçons. Parmi les filles, 10 font du sport. On choisit un élève au hasard.
- F : "l'élève est une fille"
- S : "l'élève fait du sport"
On a : P(F) = 18{30} = 0{,}6 et P(F S) = 10{30} = 1{3}
La probabilité qu'un élève fasse du sport sachant que c'est une fille est :
[formule]
Interprétation : P_B(A) représente la probabilité que A se réalise dans le cas où B est déjà réalisé. On "restreint" l'univers à B.
2. Formule des probabilités composées
À partir de la définition, on peut déduire une formule importante :
Formule des probabilités composées : Pour deux événements A et B :
[formule]
Exemple : Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement 2 boules sans remise.
- R_1 : "la première boule est rouge"
- R_2 : "la deuxième boule est rouge"
La probabilité d'obtenir deux boules rouges est :
[formule]
En effet, après avoir tiré une boule rouge, il reste 4 boules rouges sur 7 boules au total.
3. Arbres pondérés
Les arbres pondérés sont un outil visuel très pratique pour représenter des expériences à plusieurs étapes.
Construction d'un arbre pondéré :
- Premier niveau : branches correspondant aux issues possibles de la première étape
- Probabilités sur les branches : probabilités de chaque issue
- Deuxième niveau : branches correspondant aux issues de la deuxième étape
- Probabilités conditionnelles : probabilités sachant l'issue précédente
- Calcul des probabilités finales : multiplier les probabilités le long d'un chemin
Exemple détaillé : Une usine produit des pièces. 70 % des pièces sont produites par la machine A et 30 % par la machine B.
- La machine A produit 2 % de pièces défectueuses
- La machine B produit 5 % de pièces défectueuses
On choisit une pièce au hasard. Construisons l'arbre :
Premier niveau :
- Branche A : probabilité 0,7
- Branche B : probabilité 0,3
Deuxième niveau (pour chaque machine) :
- Branche "défectueuse" : probabilité conditionnelle
- Branche "conforme" : probabilité conditionnelle
Calculs :
- Probabilité que la pièce vienne de A et soit défectueuse : 0{,}7 0{,}02 = 0{,}014
- Probabilité que la pièce vienne de B et soit défectueuse : 0{,}3 0{,}05 = 0{,}015
- Probabilité totale qu'une pièce soit défectueuse : 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029
4. Formule des probabilités totales
Quand on a une partition de l'univers, on peut utiliser la formule des probabilités totales :
Formule des probabilités totales : Si B_1, B_2, , B_n forment une partition de l'univers (événements incompatibles dont la réunion est ), alors pour tout événement A :
[formule]
Ou encore :
[formule]
Exemple : Reprenons l'exemple de l'usine. On veut calculer P(D) où D est "la pièce est défectueuse".
Les machines A et B forment une partition de l'univers (toute pièce vient de A ou de B).
[formule]
[formule]
5. Formule de Bayes
La formule de Bayes permet de "remonter" dans le temps, c'est-à-dire de calculer une probabilité conditionnelle dans le sens inverse.
Formule de Bayes : Pour deux événements A et B avec P(A) 0 et P(B) 0 :
[formule]
En utilisant la formule des probabilités totales si nécessaire.
Exemple : Reprenons l'exemple de l'usine. On choisit une pièce au hasard et on constate qu'elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine A ?
On cherche P_D(A).
[formule]
Il y a environ 48,3 % de chances que la pièce défectueuse vienne de la machine A.
6. Indépendance de deux événements
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.
Définition : Deux événements A et B sont indépendants si :
[formule]
Ou de manière équivalente, si P(B) 0 :
[formule]
Exemples :
Lancer deux dés : Les résultats des deux dés sont indépendants.
Tirer deux cartes avec remise : Les deux tirages sont indépendants.
Tirer deux cartes sans remise : Les deux tirages ne sont pas indépendants (le deuxième tirage dépend du premier).
Attention : Ne pas confondre incompatibles et indépendants :
- Incompatibles : A B = (ne peuvent pas se produire en même temps)
- Indépendants : P(A B) = P(A) P(B) (la réalisation de l'un n'influence pas l'autre)
7. Utilisation pratique des arbres
Les arbres pondérés sont particulièrement utiles pour :
Applications :
- Expériences à plusieurs étapes : tirages successifs, choix successifs
- Calculs de probabilités composées : multiplier le long des chemins
- Calculs de probabilités totales : additionner les probabilités de plusieurs chemins
- Calculs de probabilités conditionnelles inverses : utiliser la formule de Bayes
Exemple complet : Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement 2 boules avec remise.
Question 1 : Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
Comme les tirages sont indépendants (avec remise) :
[formule]
Question 2 : Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule bleue (dans n'importe quel ordre) ?
Il y a deux chemins possibles : (Rouge, Bleue) ou (Bleue, Rouge)
[formule]
À retenir
Résumé :
Probabilité conditionnelle : P_B(A) = P(A B){P(B)}
Probabilités composées : P(A B) = P(B) P_B(A)
Probabilités totales : P(A) = P(B_i) P_{B_i}(A)
Formule de Bayes : P_A(B) = P(B) P_B(A){P(A)}
Indépendance : A et B sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B)
Arbres pondérés : Outil visuel pour représenter et calculer les probabilités
Conseil : Pour résoudre un problème de probabilités conditionnelles :
- Identifier les événements
- Construire un arbre pondéré si possible
- Utiliser les formules appropriées
- Vérifier que les probabilités sur chaque niveau somment à 1