Taux d'évolution moyen et problèmes de seuil

Introduction

Deux questions reviennent dans toute situation d'évolution : « en moyenne, de combien a-t-on évolué par période ? » et « à partir de quand dépasse-t-on telle valeur ? ». L'exposant 1/n répond à la première ; des essais bien menés, un tableau de valeurs ou une courbe répondent à la seconde.

1. Taux d'évolution moyen

Rappel : une évolution de p % correspond au coefficient multiplicateur 1 + p/100, et des évolutions successives se traduisent par le produit de leurs coefficients.

Taux d'évolution moyen : Une grandeur subit n évolutions successives, de coefficient global K. Le taux d'évolution moyen est le taux tₘ (écrit en nombre décimal) qui, appliqué n fois, donne la même évolution globale :

(1 + tₘ)ⁿ = K donc 1 + tₘ = K¹/ⁿ

Calculer un taux moyen :

1. Calculer le coefficient global K : produit des coefficients, ou quotient (valeur finale)/(valeur initiale).
2. Calculer le coefficient moyen K¹/ⁿ.
3. Lui retirer 1, et l'écrire en pourcentage.
4. Vérifier : le coefficient moyen élevé à la puissance n doit redonner K.

Un loyer sur deux ans : Un loyer passe de 800 € à 968 € en deux ans. Coefficient global : 968/800 = 1,21. Coefficient moyen : 1,21¹/² = 1,1, car 1,1² = 1,21. Le taux moyen est de +10 % par an.

Vérification : 800 × 1,1 = 880, puis 880 × 1,1 = 968.

Trois évolutions différentes : Un prix augmente de 60 % la première année, de 8 % la deuxième, puis reste stable la troisième. Coefficient global : 1,6 × 1,08 × 1 = 1,728. Comme 1,2³ = 1,728, le coefficient moyen est 1,728¹/³ = 1,2 : le taux moyen est de +20 % par an.

Un capital qui triple en deux ans : Coefficient global : 3. Coefficient moyen : 3¹/² = √(3), qui n'est pas un nombre « rond » : l'énoncé (ou la calculatrice) donne √(3) ≈ 1,732. Le taux moyen annuel est d'environ +73,2 % — et non +100 % : avec +100 % par an, le capital doublerait chaque année, donc serait multiplié par 4 en deux ans.

Le taux moyen n'est pas la moyenne des taux : Dans l'exemple des trois évolutions, la moyenne des taux vaut (60 + 8 + 0)/3 ≈ 22,7 %. Appliquée trois fois, elle donnerait (à la calculatrice) 1,227³ ≈ 1,85, soit environ +85 % au lieu de +72,8 %. Les évolutions se multiplient : le coefficient moyen est une moyenne géométrique, pas une moyenne arithmétique.

2. Valeur au bout d'une fraction de période

Si l'on suppose qu'une grandeur évolue au même rythme tout au long de chaque période, la fonction x ↦ aˣ donne sa valeur au bout d'une durée non entière.

Intérêts composés sur une fraction d'année : Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 3 % ; on suppose qu'il évolue au même rythme tout au long de l'année (en pratique, une banque verse souvent les intérêts en fin d'année). Au bout de t années, il vaut alors C(t) = 5 000 × 1,03ᵗ. On donne 1,03⁰,⁵ ≈ 1,0149.

• Au bout de six mois : C(0,5) ≈ 5 000 × 1,0149 = 5 074,50 €.
• Au bout d'un an et demi : 1,03¹,⁵ = 1,03 × 1,03⁰,⁵ ≈ 1,03 × 1,0149 = 1,045 347, donc C(1,5) ≈ 5 000 × 1,045 347 ≈ 5 227 €.

Sur six mois, le taux équivalent est d'environ 1,49 % — un peu moins que la moitié de 3 %.

Radioactivité : une fraction de demi-vie : La demi-vie d'un nucléide radioactif, comme le carbone 14, est la durée au bout de laquelle la moitié de ses noyaux se sont désintégrés. En prenant la demi-vie pour unité de temps, la proportion de noyaux restants au bout de x demi-vies est 0,5ˣ.

Au bout d'une demi-vie et demie : 0,5¹,⁵ = 0,5 × 0,5⁰,⁵, avec 0,5⁰,⁵ = √(0,5) = (√(2))/2 ≈ 0,707, donc 0,5¹,⁵ ≈ 0,354. Il reste environ 35 % des noyaux. Pour le carbone 14, dont la demi-vie est d'environ 5 730 ans, cela correspond à 1,5 × 5 730 = 8 595 ans.

3. Problèmes de seuil

On cherche à partir de quand une grandeur f(t) = f(0) × aᵗ dépasse une valeur S (si a > 1) ou passe sous une valeur S (si 0 < a < 1).

Trois façons de résoudre un problème de seuil :

1. Par le calcul, en encadrant : la fonction étant monotone, on cherche un essai qui ne convient pas et un essai qui convient, puis on resserre.
2. Par un tableau de valeurs (tableur, calculatrice, ou valeurs données par l'énoncé) : on repère la première valeur qui convient.
3. Graphiquement : on trace la droite y = S et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la courbe.

Une ville qui grandit : Une ville compte 2 000 habitants et sa population augmente de 10 % par an : P(t) = 2 000 × 1,1ᵗ. À partir de quand dépasse-t-elle 3 000 habitants ? On donne les puissances de 1,1 :

P(4) < 3 000 et P(5) > 3 000. La fonction étant croissante (1,1 > 1), la population dépasse 3 000 habitants au cours de la cinquième année, entre t = 4 et t = 5.

Avec un outil numérique

Un programme fait les essais à notre place : il multiplie par le coefficient tant que le seuil n'est pas dépassé, et compte les périodes.

P = 2000
n = 0
while P <= 3000:
    P = P * 1.1
    n = n + 1
print(n)

Il affiche 5 : c'est la première année entière où P(n) > 3 000. La condition de la boucle est le contraire de ce qu'on cherche — on continue tant que P ≤ 3 000. Le script « Recherche du seuil d'une suite », dans la rubrique Python, fait la même chose pour une suite croissante définie par récurrence : c'est ce qu'il suppose, et sur une suite décroissante il se tromperait (il s'arrêterait tout de suite, ou ne s'arrêterait jamais).

Pour une grandeur qui diminue et doit passer sous un seuil, la condition s'inverse : on continue tant que la grandeur est encore au-dessus. Par exemple, 200 mg d'un produit qui diminuent de 30 % par heure, avec un seuil de 50 mg :

Q = 200
n = 0
while Q >= 50:
    Q = Q * 0.7
    n = n + 1
print(n)

Il affiche 4 : 200 × 0,7³ = 68,6 ≥ 50 et 200 × 0,7⁴ = 48,02 < 50, donc c'est au bout de 4 heures entières que la quantité est sous 50 mg pour la première fois.

La monotonie fait tout le travail : C'est parce que t ↦ 2 000 × 1,1ᵗ est croissante qu'une fois 3 000 dépassé, la population reste au-dessus. Pour une décroissance (a < 1), c'est l'inverse : une fois passée sous le seuil, la grandeur y reste. Sans monotonie, un essai réussi ne prouverait rien sur la suite.

4. Linéaire ou exponentiel ?

Reconnaître le modèle :

• La grandeur augmente du même nombre à chaque période : croissance linéaire (suite arithmétique, fonction affine).
• La grandeur est multipliée par le même nombre à chaque période — elle évolue du même pourcentage : croissance exponentielle (suite géométrique, fonction x ↦ aˣ).

Deux croissances partent du même point : Partons de 1 000 dans les deux cas : +200 par période d'un côté, +20 % par période de l'autre.

Après la première période, l'écart ne cesse de se creuser au profit de l'exponentielle.

C'est l'argument de Malthus (1798) : selon lui, la population croît de façon exponentielle et les ressources alimentaires de façon linéaire, donc les ressources finissent toujours par manquer. Le même raisonnement éclaire la propagation d'une rumeur ou d'une épidémie : si chaque malade contamine en moyenne R personnes — le taux de reproduction, qui vaut R₀ en l'absence de toute mesure —, le nombre de nouveaux cas est multiplié par R à chaque génération : il augmente si R > 1 et diminue si R < 1.

À retenir

Résumé :

1. Taux moyen sur n évolutions de coefficient global K : 1 + tₘ = K¹/ⁿ. Ce n'est pas la moyenne des taux.

2. Valeur au bout d'une fraction de période, si l'on suppose que la grandeur évolue au même rythme tout au long de chaque période : f(t) = f(0) × aᵗ avec t non entier, calculée par les propriétés des puissances.

3. Seuil : encadrer par essais, lire un tableau, ou lire la courbe — la monotonie garantit que le seuil, une fois franchi, reste franchi.

4. Ajouter le même nombre : linéaire. Multiplier par le même nombre : exponentiel.

Conseil : Dans un problème de seuil, écris toujours la phrase de conclusion avec la monotonie : « comme la fonction est croissante et que P(5) > 3 000… ». C'est elle qui transforme un essai réussi en réponse.