Variations, courbe et exposant 1/n

Introduction

La leçon précédente a construit la fonction x ↦ aˣ pour a > 0 et x ≥ 0. Celle-ci répond à trois questions : quand aˣ augmente-t-il, quand diminue-t-il ? À quoi ressemble sa courbe, et comment s'en servir ? Et que vaut a¹/ⁿ — le nombre qui permettra, dans la leçon suivante, de calculer un taux d'évolution moyen ?

1. Sens de variation selon a

Sens de variation (admis) : Sur l'intervalle [0 ; +∞[ :

si a > 1, la fonction x ↦ aˣ est strictement croissante ;
si a = 1, elle est constante, égale à 1 ;
si 0 < a < 1, elle est strictement décroissante.

Pourquoi c'est naturel. On l'admet, mais on le comprend : si a > 1, les termes a⁰, a¹, a², … augmentent, puisqu'on multiplie à chaque pas par un nombre plus grand que 1. Et un point intermédiaire a pour ordonnée la moyenne géométrique de ses deux voisins, qui est comprise entre eux : le remplissage du nuage ne crée ni bosse ni creux, la courbe monte. Si 0 < a < 1, multiplier par a fait diminuer, et tout s'inverse.

Le parallèle avec les suites géométriques de premier terme positif est complet :

	suite u(n) = u(0) × qⁿ, avec u(0) > 0	fonction x ↦ aˣ
croissante si	q > 1	a > 1
constante si	q = 1	a = 1
décroissante si	0 < q < 1	0 < a < 1

Comparer sans calculatrice :

1,5⁰,³ et 1,5⁰,⁴ : ici a = 1,5 > 1, la fonction est croissante, et 0,3 < 0,4. Donc 1,5⁰,³ < 1,5⁰,⁴.
0,8² et 0,8³ : ici a = 0,8 < 1, la fonction est décroissante, et 2 < 3. Donc 0,8² > 0,8³. Contrôle : 0,64 > 0,512.
3⁰,² et 1 : comme 1 = 3⁰ et que la fonction est croissante, 3⁰,² > 3⁰ = 1.

Un exposant plus grand ne donne pas toujours un nombre plus grand : C'est vrai si a > 1, faux si 0 < a < 1 : 0,5³ = 0,125 est plus petit que 0,5¹ = 0,5. On regarde la base avant de comparer.

2. La courbe représentative

Propriétés de la courbe : La courbe de x ↦ aˣ (pour x ≥ 0) :

passe par le point (0 ; 1), car a⁰ = 1, et par le point (1 ; a), car a¹ = a ;
reste au-dessus de l'axe des abscisses, car aˣ > 0 ;
si a > 1 : toutes ses valeurs sont supérieures ou égales à 1 ;
si 0 < a < 1 : toutes ses valeurs sont comprises entre 0 (exclu) et 1.

Ce que montre la figure. Pour a > 1, la courbe monte de plus en plus vite ; pour 0 < a < 1, elle descend de moins en moins vite, en se rapprochant de l'axe des abscisses. On le constate sur les valeurs (2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8 : des écarts de 2, puis 4), sans le démontrer ici.

Deux bases inverses l'une de l'autre : Pour tout x ≥ 0, 2ˣ × 0,5ˣ = (2 × 0,5)ˣ = 1ˣ = 1 : 0,5ˣ est l'inverse de 2ˣ. La première double à chaque unité, la seconde est divisée par 2 : 2³ = 8 et 0,5³ = 1/8.

3. Résoudre graphiquement une équation

Résoudre aˣ = k à l'aide de la courbe : Pour un nombre k > 0 :

tracer la droite horizontale d'équation y = k ;
repérer son point d'intersection avec la courbe de x ↦ aˣ ;
lire l'abscisse de ce point : c'est la solution (approchée).

Pour a ≠ 1, comme la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante, il y a au plus une solution.

Résoudre 2ˣ = 3 : La droite y = 3 coupe la courbe de y = 2ˣ en un point d'abscisse proche de 1,6.

Contrôle par encadrement, sans calculatrice : 2¹ = 2 < 3 et 2² = 4 > 3, donc la solution est entre 1 et 2. On resserre : 2¹,⁵ = 2 × 2⁰,⁵ = 2√(2) ≈ 2 × 1,414 ≈ 2,83 < 3. Comme la fonction est croissante, la solution est entre 1,5 et 2 — ce qui confirme la lecture.

Le même geste résout une inéquation : pour a > 1, aˣ ≥ k est vraie à droite de la solution, puisque la courbe monte.

4. Ordres de grandeur

Une croissance exponentielle surprend toujours, parce qu'elle s'accélère. Un repère suffit pour l'estimer de tête :

formula 2¹⁰ = 1 024 ≈ 10³

Une quantité qui double chaque jour :

Au bout de 10 jours, elle est multipliée par 2¹⁰ ≈ 1 000.
Au bout de 20 jours, par 2²⁰ = (2¹⁰)² ≈ 1 000² = 1 000 000.
Au bout de 30 jours, par environ un milliard.

À l'inverse, une quantité divisée par 2 chaque jour est multipliée par 0,5¹⁰ = 1/(1 024) en dix jours : il n'en reste qu'environ un millième.

Ne pas juger sur les premiers jours : Une quantité qui part de 0 et augmente de 1 000 par jour atteint 10 000 en 10 jours, et 30 000 en 30 jours. Une quantité qui part de 1 et double chaque jour n'atteint que 1 024 au bout de 10 jours : la croissance linéaire semble plus rapide. Mais au bout de 30 jours, l'exponentielle atteint environ un milliard contre 30 000.

5. Le cas particulier de l'exposant 1/n

On a vu que a⁰,⁵ = √(a). Plus généralement, pour un entier n ≥ 1, la propriété (aˣ)ʸ = aˣʸ donne :

(a¹/ⁿ)ⁿ = a¹/ⁿ × ⁿ = a¹ = a

Racine n-ième (admis) : Pour a > 0 et n entier, n ≥ 1, le nombre a¹/ⁿ est le seul nombre positif dont la puissance n-ième vaut a. On l'appelle la racine n-ième de a, et on le note aussi n√(a).

Pour n = 2, c'est la racine carrée : a¹/² = √(a).

Sans calculatrice :

8¹/³ = 2, car 2³ = 8.
81¹/⁴ = 3, car 3⁴ = 81.
1,21¹/² = 1,1, car 1,1² = 1,21.
1,331¹/³ = 1,1, car 1,1³ = 1,331.

Calculer a¹/ⁿ : On cherche un nombre positif b tel que bⁿ = a : on essaie des valeurs simples (2, 3, 1,1, 1,2, 0,9…) et l'on vérifie en élevant à la puissance n. À la calculatrice, on tape a puis la touche puissance, et l'exposant (1/n) entre parenthèses.

a¹/ⁿ n'est pas a/n : 8¹/³ = 2, alors que 8/3 ≈ 2,67. Ce n'est pas non plus 1/(aⁿ) : l'exposant 1/n ne divise rien, il « défait » la puissance n.

À retenir

Résumé :

x ↦ aˣ est strictement croissante si a > 1, constante si a = 1, strictement décroissante si 0 < a < 1 — comme la suite géométrique de raison a.
Sa courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; a) et reste au-dessus de l'axe des abscisses.
On résout aˣ = k graphiquement avec la droite y = k, puis on contrôle par encadrement.
Repère d'ordre de grandeur : 2¹⁰ ≈ 10³.
a¹/ⁿ est le nombre positif dont la puissance n-ième vaut a ; a¹/² = √(a).

Conseil : Pour comparer deux puissances de même base, ne calcule rien : regarde si la base est plus grande ou plus petite que 1, puis compare les exposants.