Des suites géométriques aux fonctions x ↦ aˣ

Fonctions exponentielles x ↦ aˣ — Première Maths sans spé

Des suites géométriques aux fonctions x ↦ aˣ

Introduction

Au chapitre des suites, une grandeur multipliée par le même nombre à chaque étape se modélise par une suite géométrique : u(n) = u(0) × qⁿ. Mais une suite ne donne des valeurs qu'aux entiers : au bout de 1 heure, de 2 heures… et rien entre les deux.

Le temps, lui, ne saute pas d'une heure à l'autre. Combien de bactéries au bout d'une demi-heure ? Quelle somme sur un compte au bout de six mois ? Pour répondre, on va « remplir les trous » entre les points de la suite. On obtient une fonction définie pour tous les réels x ≥ 0 : la fonction x ↦ aˣ.

1. Le nuage de points d'une suite géométrique

Une colonie de bactéries : Une colonie de bactéries est multipliée par 4 chaque heure. Au départ, on en compte 1 millier. Le nombre de milliers de bactéries au bout de n heures est :

u(n) = 4ⁿ

n (heures) 0 1 2 3
u(n) (milliers) 1 4 16 64

Dans un repère, ces valeurs donnent des points isolés : (0 ; 1), (1 ; 4), (2 ; 16)… Entre deux points, la suite ne dit rien.

2. Ajouter des points intermédiaires

Combien de bactéries au bout d'une demi-heure ? Raisonnons sur le coefficient multiplicateur.

En une heure, on multiplie par 4. Si l'on multiplie par un même nombre k pendant chacune des deux demi-heures, alors k × k = 4, donc k = 2 (un coefficient multiplicateur est positif). Au bout d'une demi-heure, il y a donc 1 × 2 = 2 milliers de bactéries.

Placer un point intermédiaire : Entre deux points consécutifs du nuage, A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂), on place le point M :

  • d'abscisse la moyenne arithmétique des abscisses : (x₁ + x₂)/2 ;
  • d'ordonnée la moyenne géométrique des ordonnées : √(y₁ × y₂).

Pourquoi la moyenne géométrique ? Parce qu'on veut le même coefficient sur chaque moitié du trajet : pour aller de y₁ à yM, puis de yM à y₂, on doit multiplier par le même nombre. Donc (yM)/(y₁) = (y₂)/(yM), c'est-à-dire yM² = y₁ × y₂.

On remplit les trous : Entre (0 ; 1) et (1 ; 4) : abscisse (0 + 1)/2 = 0,5 et ordonnée √(1 × 4) = 2.

Entre (1 ; 4) et (2 ; 16) : abscisse 1,5 et ordonnée √(4 × 16) = √(64) = 8.

x (heures) 0 0,5 1 1,5 2
milliers de bactéries 1 2 4 8 16

On peut recommencer entre (0 ; 1) et (0,5 ; 2) : abscisse 0,25, ordonnée √(1 × 2) = √(2) ≈ 1,41. Et ainsi de suite.

Pas la moyenne arithmétique des ordonnées : Entre 4 et 16, la moyenne arithmétique vaut 10 : de 4 à 10, on multiplie par 2,5, mais de 10 à 16 seulement par 1,6. Le coefficient ne serait plus le même sur les deux demi-heures — ce n'est plus une évolution exponentielle.

En répétant ce découpage — on coupe chaque intervalle en deux, encore et encore : c'est une dichotomie —, le nuage devient de plus en plus serré. Au bout de quelques étapes, les points sont si proches qu'ils dessinent une courbe continue. Un tableur fait ces calculs en quelques secondes.

3. La fonction x ↦ aˣ

Fonction exponentielle de base a : Soit a un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est la fonction f définie pour tout réel x ≥ 0 par :

f(x) = aˣ

Elle prolonge la suite géométrique n ↦ aⁿ : pour tout entier naturel n, f(n) = aⁿ. Entre deux entiers, sa courbe est celle qu'on obtient en complétant le nuage de points.

Les valeurs à connaître :

  • a⁰ = 1 pour tout a > 0 : à l'instant 0, on n'a encore rien multiplié.
  • a¹ = a.
  • 1ˣ = 1 pour tout x ≥ 0 : multiplier par 1 ne change rien.
  • Pour les autres valeurs, la calculatrice donne aˣ. Sans calculatrice, on les obtient par les propriétés ci-dessous, ou l'énoncé les fournit.

aˣ n'est pas a × x : 4¹,⁵ = 8 (le point intermédiaire du § 2), alors que 4 × 1,5 = 6. L'exposant ne multiplie pas la base : il dit combien de fois on multiplie par la base — y compris « une demi-fois ».

4. Propriétés algébriques

Les règles de calcul sur les puissances entières, vues en Seconde, restent vraies pour des exposants réels positifs. On les admet.

Propriétés admises : Pour tous réels a > 0 et b > 0, et pour tous réels x ≥ 0 et y ≥ 0 :

  1. aˣ⁺ʸ = aˣ × aʸ
  2. aˣ⁻ʸ = (aˣ)/(aʸ) lorsque x ≥ y
  3. (aˣ)ʸ = aˣʸ
  4. aˣ × bˣ = (a × b)ˣ

De plus, aˣ > 0 pour tout réel x ≥ 0.

Calculer sans calculatrice :

  • 2¹,⁵ × 2⁰,⁵ = 2¹,⁵ ⁺ ⁰,⁵ = 2² = 4
  • 5³,²5¹,² = 5³,² ⁻ ¹,² = 5² = 25
  • (9⁰,⁵)² = 9⁰,⁵ × ² = 9¹ = 9 : donc 9⁰,⁵ est le nombre positif dont le carré vaut 9, c'est-à-dire 3.
  • 4¹,⁵ = 4¹ ⁺ ⁰,⁵ = 4¹ × 4⁰,⁵ = 4 × 2 = 8 : on retrouve le point intermédiaire du paragraphe 2.

L'exposant 0,5 et la racine carrée : Le troisième calcul vaut pour tout a > 0 : (a⁰,⁵)² = a, donc a⁰,⁵ = √(a). C'est exactement la moyenne géométrique entre a⁰ = 1 et a¹ = a. La leçon suivante généralise cette idée à l'exposant 1/n.

5. Modéliser une évolution à taux constant

Le modèle : Si une grandeur est multipliée par a à chaque unité de temps (heure, année…), vaut f(0) au départ, et évolue au même rythme tout au long de chaque unité de temps, on modélise sa valeur au bout d'un temps t ≥ 0 — entier ou non — par :

f(t) = f(0) × aᵗ

Une hausse de p % par unité de temps correspond à a = 1 + p/100 ; une baisse de p % correspond à a = 1 - p/100.

Au bout d'une heure et demie : Pour les bactéries, f(t) = 4ᵗ milliers. Au bout d'une heure et demie : f(1,5) = 4¹,⁵ = 8, soit 8 000 bactéries.

Un taux sur six mois : Un prix augmente de 21 % par an (taux choisi pour que les calculs se fassent de tête), et l'on suppose qu'il évolue au même rythme tout au long de l'année. Le coefficient annuel est 1,21. Sur six mois, soit une demi-année, le coefficient est :

1,21⁰,⁵ = √(1,21) = 1,1

car 1,1² = 1,21. En six mois, le prix augmente donc de 10 % — et non de 21/2 = 10,5 %.

Partager le taux en deux est faux : Avec +10,5 % par semestre, on obtiendrait sur un an 1,105² = 1,221 025, soit +22,1 % et non +21 %. Une évolution exponentielle se découpe en coefficients qu'on multiplie, pas en pourcentages qu'on partage.

À retenir

Résumé :

  1. Pour a > 0, la fonction x ↦ aˣ, définie pour x ≥ 0, prolonge la suite géométrique n ↦ aⁿ.

  2. Point intermédiaire entre deux points du nuage : moyenne arithmétique des abscisses, moyenne géométrique des ordonnées.

  3. a⁰ = 1, a¹ = a et aˣ > 0.

  4. Propriétés admises : aˣ⁺ʸ = aˣ × aʸ, aˣ⁻ʸ = (aˣ)/(aʸ), (aˣ)ʸ = aˣʸ, aˣ × bˣ = (ab)ˣ.

  5. Une grandeur multipliée par a à chaque unité de temps, et qui évolue au même rythme tout au long de chaque unité, se modélise par f(t) = f(0) × aᵗ, même pour t non entier.

Conseil : Devant une puissance à exposant décimal, cherche d'abord à regrouper les exposants avec les propriétés : 4¹,⁵, 2¹,⁵ × 2⁰,⁵ ou 9⁰,⁵ se calculent de tête dès qu'on les réécrit.