Applications de la fonction exponentielle (croissance, décroissance)

Introduction

La fonction exponentielle modélise de nombreux phénomènes réels : croissance démographique, décroissance radioactive, intérêts composés, refroidissement d'un objet, etc. Dans cette leçon, nous allons découvrir comment utiliser l'exponentielle pour modéliser ces situations concrètes.

1. Croissance exponentielle

De nombreux phénomènes présentent une croissance exponentielle, c'est-à-dire que leur évolution suit une loi de la forme f(t) = A e^{kt} avec k > 0.

Définition : Un phénomène suit une croissance exponentielle si sa valeur à l'instant t est donnée par :

[formule]

où :

A > 0 est la valeur initiale (à t = 0)
k > 0 est le taux de croissance
t est le temps

Exemple : croissance démographique : Une population de bactéries double toutes les 3 heures. Au départ, il y a 100 bactéries.

On peut modéliser le nombre de bactéries N(t) après t heures par :

[formule]

Pour déterminer k, on utilise le fait que N(3) = 200 :

[formule]

Donc : N(t) = 100 e^{0{,}231t}

Vérification : N(3) = 100 e^{0{,}693} 100 2 = 200 ✓

Caractéristiques de la croissance exponentielle : Pour f(t) = A e^{kt} avec k > 0 :

f(0) = A (valeur initiale)
f est croissante sur [0 ; +[
_{t +} f(t) = + (croissance sans limite)
Le temps de doublement est constant : T = (2){k}

2. Décroissance exponentielle

La décroissance exponentielle modélise des phénomènes qui diminuent progressivement, comme la radioactivité ou la décharge d'un condensateur.

Définition : Un phénomène suit une décroissance exponentielle si sa valeur à l'instant t est donnée par :

[formule]

où :

A > 0 est la valeur initiale
k > 0 est le taux de décroissance
t est le temps

Exemple : décroissance radioactive : Un échantillon radioactif contient initialement 1000 grammes d'une substance. Sa masse diminue de moitié toutes les 5 heures.

On modélise la masse M(t) après t heures par :

[formule]

Pour déterminer k, on utilise M(5) = 500 :

[formule]

Donc : M(t) = 1000 e^{-0{,}139t}

Vérification : M(5) = 1000 e^{-0{,}693} 1000 0{,}5 = 500 ✓

Caractéristiques de la décroissance exponentielle : Pour f(t) = A e^{-kt} avec k > 0 :

f(0) = A (valeur initiale)
f est décroissante sur [0 ; +[
_{t +} f(t) = 0 (tend vers zéro sans l'atteindre)
La demi-vie (temps de demi-vie) est : T = (2){k}

3. Intérêts composés

Les intérêts composés sont un exemple classique d'application de l'exponentielle en finance.

Définition : Un capital C_0 placé à un taux d'intérêt annuel r (en décimal) avec capitalisation continue évolue selon :

[formule]

où t est le temps en années.

Exemple : Un capital de 1000 € est placé à un taux annuel de 3 % avec capitalisation continue.

Le capital après t années est :

[formule]

Après 5 ans : C(5) = 1000 e^{0{,}15} 1000 1{,}162 = 1,162 €

Après 10 ans : C(10) = 1000 e^{0{,}30} 1000 1{,}350 = 1,350 €

Après 20 ans : C(20) = 1000 e^{0{,}60} 1000 1{,}822 = 1,822 €

Astuce : Pour calculer le temps nécessaire pour doubler un capital, on résout :

[formule]

Pour r = 3% = 0{,}03, on trouve t 23{,}1 ans (règle approximative : 70 divisé par le taux en pourcentage).

4. Loi de refroidissement de Newton

La température d'un objet qui se refroidit suit une décroissance exponentielle.

Définition : La loi de refroidissement de Newton modélise la température T(t) d'un objet par :

[formule]

où :

T_0 est la température initiale
T_a est la température ambiante
k > 0 est une constante dépendant de l'objet
t est le temps

Exemple : Un café à 80 °C est laissé dans une pièce à 20 °C. Sa température suit la loi :

[formule]

Après 5 minutes : T(5) = 20 + 60 e^{-0{,}5} 20 + 60 0{,}607 = 56{,}4 °C

Après 10 minutes : T(10) = 20 + 60 e^{-1} 20 + 60 0{,}368 = 42{,}1 °C

Limite : _{t +} T(t) = 20 °C (la température tend vers la température ambiante)

5. Modélisation avec conditions initiales

Pour modéliser un phénomène réel, on doit souvent déterminer les paramètres à partir de données expérimentales.

Méthode : Pour déterminer les paramètres A et k dans f(t) = A e^{kt} :

Utiliser la condition initiale : f(0) = A
Utiliser une autre donnée pour déterminer k
Vérifier le modèle avec d'autres points si possible

Exemple complet : Une population de lapins augmente exponentiellement. On sait que :

Au départ (t = 0), il y a 50 lapins
Après 2 ans (t = 2), il y a 150 lapins

Étape 1 : f(0) = A = 50

Étape 2 : f(2) = 50 e^{2k} = 150

[formule]

Modèle : f(t) = 50 e^{0{,}549t}

Vérification : f(2) = 50 e^{1{,}098} 50 3 = 150 ✓

Prédiction pour t = 4 ans : f(4) = 50 e^{2{,}196} 50 9 = 450 lapins

6. Comparaison croissance linéaire vs exponentielle

Il est important de distinguer croissance linéaire et exponentielle :

Comparaison :

Croissance linéaire : f(t) = at + b (augmentation constante)
Croissance exponentielle : f(t) = A e^{kt} (augmentation proportionnelle)

La croissance exponentielle devient beaucoup plus rapide que la croissance linéaire sur le long terme.

Illustration :

Temps	Linéaire f(t) = 10t + 100	Exponentielle g(t) = 100 e^{0{,}1t}
t = 0	100	100
t = 5	150	165
t = 10	200	272
t = 20	300	739
t = 50	600	14,841

La différence devient énorme !

7. Applications pratiques : exercices types

Voici quelques situations classiques à reconnaître :

Reconnaître le type de modèle :

Croissance exponentielle : "double toutes les X unités de temps", "augmente de Y % par an"
Décroissance exponentielle : "diminue de moitié toutes les X unités", "perd Y % par an"
Modèle mixte : température qui tend vers une valeur limite (refroidissement)

Exemples de situations :

Population de bactéries : Croissance exponentielle [formule]
Substance radioactive : Décroissance exponentielle [formule]
Capital avec intérêts : Croissance exponentielle [formule]
Température d'un objet : Décroissance vers une limite [formule]

À retenir

Résumé :

Croissance exponentielle : f(t) = A e^{kt} avec k > 0
- Temps de doublement : T = (2){k}
Décroissance exponentielle : f(t) = A e^{-kt} avec k > 0
- Demi-vie : T = (2){k}
Intérêts composés : C(t) = C_0 e^{rt}
Refroidissement : T(t) = T_a + (T_0 - T_a) e^{-kt}
Pour déterminer les paramètres, utiliser les conditions initiales et des données supplémentaires

Conseil : Dans les problèmes concrets, identifiez d'abord :

La valeur initiale (t = 0)
Le type de croissance/décroissance
Les données supplémentaires pour déterminer les paramètres