Équations et inéquations avec l'exponentielle

Introduction

Résoudre des équations et inéquations contenant la fonction exponentielle est une compétence essentielle. Grâce à la propriété de croissance stricte de l'exponentielle, ces résolutions sont souvent plus simples qu'il n'y paraît. Cette leçon vous donnera les méthodes pour résoudre ces problèmes.

1. Équations de la forme e^x = k

La résolution d'équations simples avec l'exponentielle repose sur une propriété fondamentale :

Propriété fondamentale : Pour tout réel k > 0, l'équation e^x = k admet une unique solution :

[formule]

où désigne le logarithme népérien.

Exemples :

• Résoudre e^x = 5

  Solution : x = (5) 1{,}609

• Résoudre e^x = e^3

  Solution : Comme la fonction exponentielle est injective, x = 3

• Résoudre e^x = 1

  Solution : x = (1) = 0 (car e^0 = 1)

Attention : L'équation e^x = k n'a aucune solution si k 0, car e^x > 0 pour tout x.

2. Équations de la forme e^{ax+b} = k

Pour résoudre ce type d'équation, on utilise la même méthode en isolant d'abord l'exponentielle :

Méthode de résolution : Pour résoudre e^{ax+b} = k avec k > 0 :

1. Vérifier que k > 0 (sinon pas de solution)
2. Prendre le logarithme népérien des deux membres : ax + b = (k)
3. Résoudre l'équation du premier degré obtenue

Exemple détaillé : Résoudre e^{2x-1} = 7

Étape 1 : 7 > 0, donc l'équation admet une solution.

Étape 2 : On prend le logarithme népérien : [formule]

Étape 3 : On résout : [formule] [formule]

Autres exemples :

• Résoudre e^{-x+3} = 2

  -x + 3 = (2), donc -x = (2) - 3, soit x = 3 - (2) 2{,}307

• Résoudre e^{5x} = e^2

  5x = 2, donc x = 2{5} = 0{,}4

3. Équations de la forme e^x = e^{f(x)}

Quand les deux membres sont des exponentielles, on peut utiliser directement la propriété d'injectivité :

Propriété : Pour tous réels a et b :

[formule]

Méthode : Pour résoudre e^x = e^{f(x)} :

1. Utiliser l'équivalence : e^x = e^{f(x)} x = f(x)
2. Résoudre l'équation x = f(x) obtenue

Exemple : Résoudre e^{2x-1} = e^{x+3}

On a directement : 2x - 1 = x + 3

Donc : 2x - x = 3 + 1, soit x = 4

Vérification : e^{2 4 - 1} = e^7 et e^{4 + 3} = e^7 ✓

4. Inéquations de la forme e^x k ou e^x k

Pour résoudre les inéquations, on utilise la croissance de l'exponentielle :

Propriété : Pour tout réel k > 0 :

• e^x k x (k)
• e^x k x (k)

Exemples :

• Résoudre e^x 5

  x (5) 1{,}609

  Solution : x ]- ; (5)]

• Résoudre e^x e^2

  x 2

  Solution : x [2 ; +[

• Résoudre e^x < 1

  x < (1) = 0

  Solution : x ]- ; 0[

Attention :

• Si k 0, alors e^x k n'a aucune solution (car e^x > 0)
• Si k 0, alors e^x k est toujours vraie (car e^x > 0 k)

5. Inéquations de la forme e^{ax+b} k ou e^{ax+b} k

Pour ces inéquations, il faut faire attention au signe du coefficient a :

Méthode : Pour résoudre e^{ax+b} k avec k > 0 :

1. Prendre le logarithme népérien : ax + b (k)
2. Résoudre l'inéquation du premier degré obtenue
3. Attention : Si a < 0, le sens de l'inégalité change lors de la division !

Exemple avec a > 0 : Résoudre e^{2x-1} 7

On a : 2x - 1 (7)

Donc : 2x (7) + 1

Et : x (7) + 1{2} 1{,}473

Solution : x ]- ; (7) + 1{2}]

Exemple avec a < 0 : Résoudre e^{-3x+2} 5

On a : -3x + 2 (5)

Donc : -3x (5) - 2

En divisant par -3 (négatif), le sens change : [formule]

Solution : x ]- ; 2 - (5){3}]

6. Équations et inéquations avec plusieurs exponentielles

Quand plusieurs exponentielles apparaissent, on peut parfois les factoriser ou utiliser des changements de variable :

Méthode : Pour résoudre des équations comme e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 :

1. Poser X = e^x (changement de variable)
2. Résoudre l'équation en X
3. Revenir à x en résolvant e^x = X pour chaque solution X > 0

Exemple détaillé : Résoudre e^{2x} - 5e^x + 6 = 0

Étape 1 : On pose X = e^x. Alors e^{2x} = (e^x)^2 = X^2

L'équation devient : X^2 - 5X + 6 = 0

Étape 2 : On résout cette équation du second degré : [formule]

[formule]

Étape 3 : On revient à x :

• e^x = 2 donne x = (2) 0{,}693
• e^x = 3 donne x = (3) 1{,}099

Solution : S = {(2) ; (3)}

7. Cas particuliers et pièges à éviter

Pièges courants :

1. Ne pas simplifier e^x{e^y} en e^{x{y}} !

   La bonne formule est : e^x{e^y} = e^{x-y}

2. Ne pas confondre e^{x+y} avec e^x + e^y !

   On a : e^{x+y} = e^x e^y e^x + e^y

3. Vérifier toujours que le membre de droite est positif avant de prendre le logarithme

Exemples de pièges :

• Faux : e^6{e^2} = e^{6{2}} = e^3 ❌

  Vrai : e^6{e^2} = e^{6-2} = e^4 ✓

• Faux : e^{2+3} = e^2 + e^3 ❌

  Vrai : e^{2+3} = e^5 = e^2 e^3 ✓

À retenir

Résumé des méthodes :

1. Équation e^x = k (avec k > 0) : x = (k)

2. Équation e^{ax+b} = k : ax + b = (k), puis résoudre en x

3. Équation e^x = e^{f(x)} : x = f(x)

4. Inéquation e^x k : x (k) (si k > 0)

5. Inéquation e^{ax+b} k : Attention au signe de a lors de la résolution !

6. Plusieurs exponentielles : Utiliser un changement de variable X = e^x

Conseil : Toujours vérifier que les solutions trouvées sont cohérentes en remplaçant dans l'équation ou l'inéquation de départ !