Racines et signe : la forme factorisée

Modélisation quadratique — Première Maths sans spé

Racines et signe : la forme factorisée

Introduction

Quand une fonction polynôme de degré 2 est écrite sous forme factorisée a(x - x₁)(x - x₂), presque tout se lit sans calcul : ses racines, son signe, et même son axe de symétrie. Cette leçon montre comment, avec un seul outil vu au collège : la règle du produit nul.

1. Les racines d'une forme factorisée

Racine : Une racine d'une fonction f est un nombre x tel que f(x) = 0. Graphiquement, c'est l'abscisse d'un point où la courbe rencontre l'axe des abscisses.

Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Pour f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) avec a ≠ 0, le facteur a ne s'annule jamais, donc :

f(x) = 0 ⟺ x - x₁ = 0 ou x - x₂ = 0 ⟺ x = x₁ ou x = x₂

Les racines de f(x) = 2(x - 1)(x + 3) : x - 1 = 0 donne x = 1, et x + 3 = 0 donne x = -3. Les racines sont 1 et -3 ; le coefficient 2 n'est pas une racine.

Lire les racines avec le bon signe : Le facteur (x + 3) s'annule pour x = -3, pas pour x = 3. On ne recopie pas le nombre écrit dans la parenthèse : on résout « parenthèse = 0 ».

Une seule racine : Si x₁ = x₂, la forme factorisée s'écrit a(x - x₁)² : la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point, son sommet (x₁ ; 0).

2. Vérifier une forme factorisée

Les énoncés donnent souvent la forme factorisée, ou demandent de la vérifier. Pour cela, on développe et on compare.

Vérifier que x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) : (x + 1)(x - 3) = x² - 3x + x - 3 = x² - 2x - 3. Les deux écritures sont égales : on peut donc lire les racines -1 et 3 sur la forme factorisée.

Factoriser dans les cas simples : Deux situations se factorisent sans aide :

  • pas de terme constant : ax² + bx = x(ax + b) ;
  • une différence de deux carrés : x² - 9 = (x - 3)(x + 3), puisque A² - B² = (A - B)(A + B).

3. Le signe d'un produit de deux facteurs du premier degré

Le facteur x - x₁ est négatif pour x < x₁, nul en x₁, positif pour x > x₁. On combine ensuite les signes des facteurs par la règle des signes d'un produit.

Dresser un tableau de signes :

  1. Placer les racines dans l'ordre croissant sur la ligne des x.
  2. Écrire une ligne par facteur du premier degré : - avant sa racine, 0 en sa racine, + après.
  3. Si a ≠ 1, ajouter une ligne pour a, dont le signe ne change pas.
  4. En dernière ligne, appliquer la règle des signes colonne par colonne.

Le signe de f(x) = (x - 1)(x - 5) : x -∞ 1 5 +∞ ; x - 1 - 0 + | + ; x - 5 - | - 0 + ; f(x) + 0 - 0 +

f(x) est strictement positif pour x < 1 et pour x > 5, strictement négatif pour 1 < x < 5, et nul en 1 et en 5.

Avec un coefficient négatif : g(x) = -2(x + 1)(x - 3) : La ligne de -2 est entièrement négative, ce qui inverse tous les signes du produit (x + 1)(x - 3) :

x -∞ -1 3 +∞ ; -2 - | - | - ; x + 1 - 0 + | + ; x - 3 - | - 0 + ; g(x) - 0 + 0 -

g(x) est strictement positif entre les racines, pour -1 < x < 3, et strictement négatif à l'extérieur.

Pourquoi c'est toujours ainsi. Prenons x₁ < x₂. Si x < x₁, les deux facteurs x - x₁ et x - x₂ sont négatifs ; si x > x₂, ils sont positifs : dans les deux cas leur produit est positif, et f(x) a le signe de a. Entre x₁ et x₂, un facteur est positif et l'autre négatif : leur produit est négatif, et f(x) a le signe contraire de a.

Le signe d'une forme factorisée : a(x - x₁)(x - x₂) est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.

4. Résoudre une inéquation

Résoudre f(x) > 0, f(x) ≤ 0… revient à lire le tableau de signes :

Résoudre (x - 1)(x - 5) < 0 : D'après le tableau, f(x) < 0 entre les racines, bornes exclues puisque l'inégalité est stricte : S = ]1 ; 5[.

Crochets et inégalités : Avec ≤ ou ≥, les racines (où f s'annule) font partie des solutions : crochets fermés en x₁ et x₂. Avec < ou >, elles sont exclues.

5. L'axe de symétrie et le sommet à partir des racines

Les points (x₁ ; 0) et (x₂ ; 0) de la parabole sont à la même hauteur : l'axe de symétrie passe au milieu des racines.

x = (x₁ + x₂)/2

Pour f(x) = (x - 1)(x - 5) : Axe : x = (1 + 5)/2 = 3. Sommet : f(3) = 2 × (-2) = -4, donc S(3 ; -4). Comme a = 1 > 0, le minimum de f vaut -4.

6. Une application : quand une entreprise est-elle bénéficiaire ?

Un bénéfice : Une entreprise fabrique x objets par jour, avec 0 ≤ x ≤ 80. Son bénéfice (en euros) est B(x) = -(x - 10)(x - 70).

  • Racines : 10 et 70. Comme a = -1 < 0, B(x) est strictement positif entre les racines : l'entreprise est bénéficiaire pour 10 < x < 70, c'est-à-dire, x comptant des objets, de 11 à 69 objets par jour.
  • Axe : x = (10 + 70)/2 = 40. Bénéfice maximal : B(40) = -(30)(-30) = 900 €, pour 40 objets par jour.

À retenir

Résumé :

  1. Les racines de a(x - x₁)(x - x₂) sont x₁ et x₂ (règle du produit nul) — on les lit en résolvant « parenthèse = 0 ».

  2. Pour vérifier une forme factorisée, on la développe.

  3. Signe : tableau de signes, une ligne par facteur, puis la règle des signes. Le produit est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles.

  4. Axe de symétrie : x = (x₁ + x₂)/2, le milieu des racines.

Conseil : Après un tableau de signes, contrôle avec une valeur simple dans chaque zone : pour (x - 1)(x - 5), f(0) = 5 > 0, f(3) = -4 < 0 et f(6) = 5 > 0 confirment le tableau.