Axe de symétrie, sommet et variations

Modélisation quadratique — Première Maths sans spé

Axe de symétrie, sommet et variations

Introduction

Le sommet d'une parabole, c'est le point où la grandeur modélisée est la plus grande ou la plus petite : la hauteur maximale d'un ballon, le chiffre d'affaires le plus élevé, le coût le plus bas. Pour le trouver, aucune formule n'est nécessaire : la symétrie de la parabole suffit.

1. L'axe de symétrie

Axe de symétrie : La parabole qui représente une fonction polynôme de degré 2 admet un axe de symétrie vertical, qui passe par son sommet.

Conséquence (admise) : si deux points distincts de la parabole ont la même ordonnée, l'axe de symétrie passe exactement au milieu de leurs abscisses.

Tout le travail consiste donc à trouver deux points de la parabole situés à la même hauteur. Il y a une façon de les obtenir qui marche toujours.

2. Trouver l'axe en résolvant f(x) = c

Pour f(x) = ax² + bx + c, on sait déjà que f(0) = c : le point (0 ; c) est sur la parabole. Cherchons l'autre point de la parabole à la même hauteur c.

Trouver l'axe de symétrie sans formule :

  1. Écrire l'équation f(x) = c. Le terme c disparaît des deux côtés : il reste ax² + bx = 0.
  2. Factoriser par x : x(ax + b) = 0. Par la règle du produit nul, x = 0 ou ax + b = 0.
  3. Si b ≠ 0, on obtient deux abscisses, 0 et une autre valeur x₀. L'axe de symétrie est la droite d'équation x = (0 + x₀)/2.

Pour f(x) = x² - 6x + 5 : On a f(0) = 5. On résout f(x) = 5 :

x² - 6x + 5 = 5 ⟺ x² - 6x = 0 ⟺ x(x - 6) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 6

Les points (0 ; 5) et (6 ; 5) sont à la même hauteur : l'axe de symétrie est la droite x = (0 + 6)/2 = 3.

Ne pas diviser par x : Diviser par x ne laisse que x = 6 : on croit n'avoir qu'un point à la hauteur 5, et l'on prend (6 ; 5) pour le sommet. Or x = 0 est aussi solution — c'est le point (0 ; 5) dont on est parti — et l'axe passe au milieu, en x = 3 ; d'ailleurs f(3) = -4 < 5. On factorise, on ne divise pas.

Si b = 0 : Pour f(x) = ax² + c, l'équation f(x) = c donne ax² = 0, donc seulement x = 0 : le sommet est lui-même le point (0 ; c), et l'axe est la droite x = 0.

3. Le sommet, par symétrie

Coordonnées du sommet : Le sommet est sur l'axe de symétrie :

  • son abscisse est celle de l'axe ;
  • son ordonnée est l'image de cette abscisse par f.

Suite de l'exemple : L'axe est x = 3, donc le sommet a pour abscisse 3 et pour ordonnée f(3) = 3² - 6 × 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. Le sommet est S(3 ; -4).

Quand la fonction est donnée sous forme factorisée a(x - x₁)(x - x₂), les deux points à la même hauteur sont tout trouvés : ce sont (x₁ ; 0) et (x₂ ; 0). L'axe passe alors au milieu des racines, comme on l'a vu dans la première leçon du chapitre.

4. Tableau de variations

Variations :

  • Si a > 0 : f est décroissante à gauche du sommet, croissante à droite ; elle admet un minimum, l'ordonnée du sommet.
  • Si a < 0 : f est croissante à gauche du sommet, décroissante à droite ; elle admet un maximum, l'ordonnée du sommet.

Tableau de variations de f(x) = x² - 6x + 5 : Ici a = 1 > 0 et le sommet est S(3 ; -4) :

x -∞ 3 +∞ ; f(x) ↘ -4 ↗

La fonction f est décroissante sur ]-∞ ; 3], croissante sur [3 ; +∞[, et son minimum vaut -4, atteint en x = 3.

5. Trouver un maximum dans une situation concrète

La hauteur maximale d'un ballon : La hauteur d'un ballon (en mètres) au bout de t secondes est h(t) = -5t² + 20t.

  • h(0) = 0 : on résout h(t) = 0, c'est-à-dire -5t² + 20t = 0 ⟺ -5t(t - 4) = 0 ⟺ t = 0 ou t = 4.
  • L'axe de symétrie est t = (0 + 4)/2 = 2.
  • Comme a = -5 < 0, la hauteur est maximale à t = 2 : h(2) = -5 × 4 + 20 × 2 = 20.

Le ballon monte pendant 2 secondes, atteint 20 m, puis redescend et touche le sol à t = 4 s.

Le meilleur prix : Une boutique vend 60 - p objets au prix de p euros, d'où un chiffre d'affaires R(p) = p(60 - p) = -p² + 60p. On a R(0) = 0, et R(p) = 0 pour p = 0 ou p = 60 : l'axe est p = 30. Comme a = -1 < 0, le chiffre d'affaires est maximal pour p = 30 € : R(30) = 30 × 30 = 900 €.

À retenir

Résumé :

  1. Deux points distincts de la parabole à la même hauteur ⟹ l'axe de symétrie passe au milieu de leurs abscisses.

  2. Pour trouver l'axe : résoudre f(x) = c, ce qui donne x(ax + b) = 0, donc (si b ≠ 0) x = 0 ou une autre valeur x₀. L'axe est x = (x₀)/2.

  3. Le sommet a pour abscisse celle de l'axe, et pour ordonnée son image par f.

  4. a > 0 : décroissante puis croissante, minimum au sommet. a < 0 : croissante puis décroissante, maximum au sommet.

Conseil : Dans un problème, l'ordonnée du sommet répond à « quelle est la valeur maximale (ou minimale) ? », et son abscisse à « pour quelle valeur est-elle atteinte ? ». Relis la question pour savoir laquelle on te demande.