Signe du trinôme et applications

Introduction

Déterminer le signe d'un trinôme ax^2 + bx + c permet de résoudre des inéquations du second degré, ce qui est essentiel dans de nombreux problèmes pratiques : optimisation, étude de bénéfices, conditions de validité, etc.

1. Principe de l'étude du signe

Définition : Étudier le signe d'un trinôme f(x) = ax^2 + bx + c consiste à déterminer pour quelles valeurs de x on a :

• f(x) > 0 (trinôme positif)
• f(x) < 0 (trinôme négatif)
• f(x) = 0 (trinôme nul)

Méthode : Le signe d'un trinôme dépend :

1. Du signe du coefficient a
2. Du **discriminant **
3. Des racines (si elles existent)

2. Cas 1 : > 0 (deux racines distinctes)

Théorème : Si > 0, le trinôme ax^2 + bx + c admet deux racines distinctes x_1 et x_2 (avec x_1 < x_2).

Le signe de ax^2 + bx + c est :

• Si a > 0 :

  • f(x) > 0 pour x < x_1 ou x > x_2
  • f(x) < 0 pour x_1 < x < x_2
  • f(x) = 0 pour x = x_1 ou x = x_2

• Si a < 0 :

  • f(x) < 0 pour x < x_1 ou x > x_2
  • f(x) > 0 pour x_1 < x < x_2
  • f(x) = 0 pour x = x_1 ou x = x_2

Exemple : Étudier le signe de f(x) = x^2 - 5x + 6.

• a = 1 > 0
• = 25 - 24 = 1 > 0
• Racines : x_1 = 2 et x_2 = 3

Comme a > 0, le signe est :

• f(x) > 0 pour x < 2 ou x > 3
• f(x) < 0 pour 2 < x < 3
• f(x) = 0 pour x = 2 ou x = 3

On peut résumer dans un tableau :

3. Cas 2 : = 0 (racine double)

Théorème : Si = 0, le trinôme ax^2 + bx + c admet une racine double x_0 = -b{2a}.

Le signe de ax^2 + bx + c est :

• Si a > 0 :

  • f(x) > 0 pour x x_0
  • f(x) = 0 pour x = x_0

• Si a < 0 :

  • f(x) < 0 pour x x_0
  • f(x) = 0 pour x = x_0

Exemple : Étudier le signe de f(x) = x^2 - 4x + 4.

• a = 1 > 0
• = 16 - 16 = 0
• Racine double : x_0 = 2

Comme a > 0, le signe est :

• f(x) > 0 pour x 2
• f(x) = 0 pour x = 2

Tableau de signes :

4. Cas 3 : < 0 (aucune racine réelle)

Théorème : Si < 0, le trinôme ax^2 + bx + c n'admet aucune racine réelle.

Le signe de ax^2 + bx + c est :

• Si a > 0 : f(x) > 0 pour tout x R
• Si a < 0 : f(x) < 0 pour tout x R

Exemple : Étudier le signe de f(x) = x^2 + 2x + 3.

• a = 1 > 0
• = 4 - 12 = -8 < 0
• Aucune racine réelle

Comme a > 0 et < 0, on a f(x) > 0 pour tout x R.

Tableau de signes :

5. Méthode complète pour étudier le signe

Méthode : Pour étudier le signe de f(x) = ax^2 + bx + c :

1. Calculer le discriminant : = b^2 - 4ac
2. Déterminer les racines (si elles existent)
3. Construire un tableau de signes selon le cas
4. Conclure sur les intervalles où f(x) est positif, négatif ou nul

Exemple complet : Étudier le signe de f(x) = -2x^2 + 8x - 6.

Étape 1 : = 64 - 48 = 16 > 0

Étape 2 : Racines [formule] [formule]

Étape 3 : Tableau de signes (avec a = -2 < 0)

Étape 4 : Conclusion

• f(x) < 0 pour x < 1 ou x > 3
• f(x) > 0 pour 1 < x < 3
• f(x) = 0 pour x = 1 ou x = 3

6. Résolution d'inéquations du second degré

6.1. Inéquation ax^2 + bx + c > 0

Méthode : Pour résoudre ax^2 + bx + c > 0 :

1. Étudier le signe du trinôme f(x) = ax^2 + bx + c
2. Identifier les intervalles où f(x) > 0
3. Donner la solution sous forme d'intervalle(s)

Exemple : Résoudre x^2 - 5x + 6 > 0.

D'après l'exemple précédent, on a :

• f(x) > 0 pour x < 2 ou x > 3

Solution : S = ]- ; 2[ ]3 ; +[

6.2. Inéquation ax^2 + bx + c 0

Exemple : Résoudre x^2 - 5x + 6 0.

• f(x) > 0 pour x < 2 ou x > 3
• f(x) = 0 pour x = 2 ou x = 3

Solution : S = ]- ; 2] [3 ; +[

6.3. Inéquation ax^2 + bx + c < 0

Exemple : Résoudre -2x^2 + 8x - 6 < 0.

D'après l'exemple précédent :

• f(x) < 0 pour x < 1 ou x > 3

Solution : S = ]- ; 1[ ]3 ; +[

7. Applications pratiques

7.1. Optimisation de bénéfice

Exemple : Le bénéfice B (en euros) d'une entreprise en fonction du nombre x d'unités vendues est donné par B(x) = -x^2 + 100x - 2000.

Pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?

On résout B(x) > 0, c'est-à-dire -x^2 + 100x - 2000 > 0.

• = 10000 - 8000 = 2000 > 0
• Racines : x_1 22{,}4 et x_2 77{,}6
• Comme a = -1 < 0, B(x) > 0 pour 22{,}4 < x < 77{,}6

L'entreprise réalise un bénéfice pour environ 23 à 77 unités vendues.

7.2. Condition de validité

Exemple : Un rectangle a une longueur L et une largeur l telles que L + l = 10. L'aire doit être supérieure à 21 m².

Quelles sont les dimensions possibles ?

Si L = x, alors l = 10 - x et l'aire est A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x.

On veut A(x) > 21, donc -x^2 + 10x - 21 > 0.

• = 100 - 84 = 16 > 0
• Racines : x_1 = 3 et x_2 = 7
• Comme a = -1 < 0, A(x) > 21 pour 3 < x < 7

Les dimensions possibles sont : longueur entre 3 m et 7 m (et largeur complémentaire).

8. Règle des signes : moyen mnémotechnique

Astuce : Pour retenir le signe quand > 0 et a > 0 :

• En dehors des racines : signe de a (donc +)
• Entre les racines : signe opposé à a (donc -)

On peut retenir : "En dehors, même signe que a"

À retenir

Résumé :

1. Si > 0 (deux racines x_1 < x_2) :

   • a > 0 : + | 0 | - | 0 | +
   • a < 0 : - | 0 | + | 0 | -

2. Si = 0 (racine double x_0) :

   • a > 0 : + | 0 | +
   • a < 0 : - | 0 | -

3. Si < 0 (pas de racine) :

   • a > 0 : + partout
   • a < 0 : - partout

4. Pour résoudre une inéquation : étudier le signe, puis identifier les intervalles solution

Conseil pratique : Toujours commencer par calculer le discriminant et identifier le signe de a. Ces deux informations déterminent complètement le signe du trinôme !