Discriminant et résolution de ax^2 + bx + c = 0
Introduction
Résoudre l'équation ax^2 + bx + c = 0 (avec a 0) est un problème fondamental. Le discriminant permet de déterminer le nombre de solutions et de les calculer explicitement.
1. Définition du discriminant
Définition : Pour le trinôme f(x) = ax^2 + bx + c (avec a 0), le discriminant, noté (delta), est défini par :
[formule]
Exemple 1 : Pour f(x) = 2x^2 + 3x - 1 :
- a = 2, b = 3, c = -1
- = 3^2 - 4 2 (-1) = 9 + 8 = 17
Exemple 2 : Pour f(x) = x^2 - 4x + 4 :
- a = 1, b = -4, c = 4
- = (-4)^2 - 4 1 4 = 16 - 16 = 0
Exemple 3 : Pour f(x) = -x^2 + 2x - 3 :
- a = -1, b = 2, c = -3
- = 2^2 - 4 (-1) (-3) = 4 - 12 = -8
2. Nombre de solutions selon le discriminant
Théorème : Pour l'équation ax^2 + bx + c = 0 (avec a 0), le nombre de solutions réelles dépend du signe de = b^2 - 4ac :
- Si > 0 : l'équation admet deux solutions distinctes
- Si = 0 : l'équation admet une solution double (ou une solution unique)
- Si < 0 : l'équation n'admet aucune solution réelle
Exemple 1 : Pour 2x^2 + 3x - 1 = 0, on a = 17 > 0, donc l'équation admet deux solutions distinctes.
Exemple 2 : Pour x^2 - 4x + 4 = 0, on a = 0, donc l'équation admet une solution double.
Exemple 3 : Pour -x^2 + 2x - 3 = 0, on a = -8 < 0, donc l'équation n'admet aucune solution réelle.
3. Formules des solutions
3.1. Cas où > 0 (deux solutions distinctes)
Formule : Si > 0, les deux solutions de ax^2 + bx + c = 0 sont :
[formule]
Exemple : Résoudre 2x^2 + 3x - 1 = 0.
On a déjà calculé = 17 > 0.
Les solutions sont : [formule]
[formule]
3.2. Cas où = 0 (solution double)
Formule : Si = 0, l'équation ax^2 + bx + c = 0 admet une solution double :
[formule]
Exemple : Résoudre x^2 - 4x + 4 = 0.
On a = 0.
La solution double est : [formule]
Vérification : 2^2 - 4 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 ✓
3.3. Cas où < 0 (aucune solution réelle)
Propriété : Si < 0, l'équation ax^2 + bx + c = 0 n'admet aucune solution réelle.
Les solutions seraient des nombres complexes (hors programme en Première Tronc Commun).
Exemple : Pour -x^2 + 2x - 3 = 0, on a = -8 < 0, donc l'équation n'a pas de solution réelle.
4. Méthode de résolution complète
Méthode : Pour résoudre ax^2 + bx + c = 0 (avec a 0) :
- Identifier les coefficients : a, b, c
- Calculer le discriminant : = b^2 - 4ac
- Déterminer le nombre de solutions selon le signe de
- Calculer les solutions avec les formules appropriées
- Vérifier en remplaçant dans l'équation initiale
Exemple complet : Résoudre x^2 - 5x + 6 = 0.
Étape 1 : a = 1, b = -5, c = 6
Étape 2 : = (-5)^2 - 4 1 6 = 25 - 24 = 1
Étape 3 : = 1 > 0, donc deux solutions distinctes
Étape 4 : [formule]
[formule]
Étape 5 : Vérification
- Pour x = 2 : 2^2 - 5 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓
- Pour x = 3 : 3^2 - 5 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓
Les solutions sont x = 2 et x = 3.
5. Factorisation et forme factorisée
Propriété : Si l'équation ax^2 + bx + c = 0 admet des solutions x_1 et x_2 (éventuellement égales), alors le trinôme peut se factoriser :
- Si > 0 : ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)
- Si = 0 : ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2
- Si < 0 : le trinôme ne se factorise pas dans R
Exemple : Pour x^2 - 5x + 6 = 0, on a trouvé x_1 = 2 et x_2 = 3.
Donc : x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Vérification : (x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 ✓
6. Cas particuliers
6.1. Équation incomplète : ax^2 + bx = 0
Méthode : Pour résoudre ax^2 + bx = 0, on factorise par x :
[formule]
Les solutions sont : x = 0 ou x = -b{a}
Exemple : Résoudre 2x^2 - 6x = 0.
[formule]
Les solutions sont : x = 0 ou x = 3.
6.2. Équation incomplète : ax^2 + c = 0
Méthode : Pour résoudre ax^2 + c = 0, on isole x^2 :
[formule]
- Si -c{a} > 0 : deux solutions x = -{c{a}}
- Si -c{a} = 0 : une solution x = 0
- Si -c{a} < 0 : aucune solution réelle
Exemple : Résoudre 3x^2 - 12 = 0.
[formule]
Les solutions sont : x = 2 ou x = -2.
7. Interprétation graphique
Interprétation : Les solutions de ax^2 + bx + c = 0 correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
- Si > 0 : la parabole coupe l'axe en deux points distincts
- Si = 0 : la parabole est tangente à l'axe (un seul point de contact)
- Si < 0 : la parabole ne coupe pas l'axe
Exemple : Pour x^2 - 5x + 6 = 0 avec = 1 > 0, la parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses x = 2 et x = 3.
8. Applications pratiques
8.1. Problème de géométrie
Exemple : Un rectangle a une aire de 12 m² et un périmètre de 14 m. Trouver ses dimensions.
Si on note x et y les dimensions, on a :
- xy = 12
- 2(x + y) = 14, donc x + y = 7, d'où y = 7 - x
En substituant : x(7 - x) = 12, donc -x^2 + 7x - 12 = 0.
On résout : = 49 - 48 = 1 > 0
[formule]
Les solutions sont x = 3 ou x = 4. Les dimensions sont 3 m et 4 m.
À retenir
Résumé :
Discriminant : = b^2 - 4ac
Nombre de solutions :
0 → deux solutions distinctes
- = 0 → une solution double
- < 0 → aucune solution réelle
Formules :
- Si > 0 : x_{1,2} = -b {}{2a}
- Si = 0 : x_0 = -b{2a}
Factorisation : ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) si solutions existent
Conseil : Toujours commencer par calculer le discriminant ! Il vous donne immédiatement le nombre de solutions et vous guide vers la bonne formule à utiliser.