Trinôme du second degré et parabole

Second degré (introduction) — Première Tronc Commun

Trinôme du second degré et parabole

Introduction

Les fonctions du second degré, aussi appelées trinômes, sont des fonctions fondamentales en mathématiques. Leur représentation graphique est une parabole, une courbe que l'on rencontre dans de nombreux domaines : physique (trajectoire d'un projectile), économie (coûts, profits), architecture, etc.

1. Définition d'un trinôme du second degré

Définition : Un trinôme du second degré (ou fonction polynomiale de degré 2) est une fonction f définie sur R par :

[formule]

où a, b et c sont des nombres réels, avec a 0.

Exemples :

  • f(x) = 2x^2 + 3x - 1 : a = 2, b = 3, c = -1
  • g(x) = -x^2 + 5x : a = -1, b = 5, c = 0
  • h(x) = 3x^2 - 7 : a = 3, b = 0, c = -7
  • k(x) = x^2 : a = 1, b = 0, c = 0

Attention : Le coefficient a ne doit jamais être égal à zéro. Si a = 0, alors f(x) = bx + c est une fonction affine (du premier degré), pas un trinôme du second degré.

2. La parabole : représentation graphique

Définition : La courbe représentative d'un trinôme du second degré f(x) = ax^2 + bx + c est une parabole.

2.1. Sens de la parabole

Propriété : Le sens d'ouverture de la parabole dépend du signe du coefficient a :

  • Si a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (forme en U)
  • Si a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (forme en )

Exemple 1 : La fonction f(x) = 2x^2 + 3x - 1 avec a = 2 > 0 a une parabole tournée vers le haut.

Exemple 2 : La fonction g(x) = -x^2 + 5x avec a = -1 < 0 a une parabole tournée vers le bas.

2.2. Le sommet de la parabole

Définition : Toute parabole admet un sommet (point le plus haut ou le plus bas de la courbe).

Les coordonnées du sommet sont :

  • Abscisse : x_S = -b{2a}
  • Ordonnée : y_S = f(x_S) = f(-b{2a})

Exemple : Pour la fonction f(x) = 2x^2 + 3x - 1 :

  • Abscisse du sommet : x_S = -3{2 2} = -3{4} = -0{,}75
  • Ordonnée du sommet : y_S = f(-0{,}75) = 2 (-0{,}75)^2 + 3 (-0{,}75) - 1 = 2 0{,}5625 - 2{,}25 - 1 = -2{,}125

Le sommet a pour coordonnées (-0{,}75 ; -2{,}125).

3. Axe de symétrie

Propriété : La parabole représentative de f(x) = ax^2 + bx + c admet un axe de symétrie vertical passant par le sommet.

L'équation de cet axe est : x = -b{2a}

Exemple : Pour f(x) = 2x^2 + 3x - 1, l'axe de symétrie est la droite d'équation x = -3{4}.

4. Forme canonique

Définition : Tout trinôme f(x) = ax^2 + bx + c peut s'écrire sous la forme canonique :

[formule]

où :

  • = -b{2a} (abscisse du sommet)
  • = f() (ordonnée du sommet)

Exemple : Pour f(x) = 2x^2 + 3x - 1 :

  • = -3{4}
  • = f(-3{4}) = -17{8}

La forme canonique est : f(x) = 2(x + 3{4})^2 - 17{8}

5. Variations d'un trinôme

Propriété : Soit f(x) = ax^2 + bx + c un trinôme avec a 0, et x_S = -b{2a} l'abscisse du sommet.

Si a > 0 :

  • f est décroissante sur ]- ; x_S]
  • f est croissante sur [x_S ; +[
  • f admet un minimum en x_S

Si a < 0 :

  • f est croissante sur ]- ; x_S]
  • f est décroissante sur [x_S ; +[
  • f admet un maximum en x_S

Exemple : Pour f(x) = 2x^2 + 3x - 1 avec a = 2 > 0 et x_S = -0{,}75 :

  • f est décroissante sur ]- ; -0{,}75]
  • f est croissante sur [-0{,}75 ; +[
  • f admet un minimum en x = -0{,}75

6. Cas particuliers

6.1. Fonction carré

Exemple : La fonction f(x) = x^2 est un cas particulier avec a = 1, b = 0, c = 0.

  • Parabole tournée vers le haut
  • Sommet à l'origine (0 ; 0)
  • Axe de symétrie : x = 0 (l'axe des ordonnées)

6.2. Trinôme sans terme en x

Exemple : La fonction f(x) = 3x^2 - 7 avec b = 0 :

  • Parabole tournée vers le haut
  • Sommet : (0 ; -7)
  • Axe de symétrie : x = 0

6.3. Trinôme sans terme constant

Exemple : La fonction f(x) = -2x^2 + 5x avec c = 0 :

  • Parabole tournée vers le bas (a = -2 < 0)
  • Sommet : x_S = -5{2 (-2)} = 5{4} = 1{,}25
  • La parabole passe par l'origine (0 ; 0)

7. Applications pratiques

7.1. Trajectoire d'un projectile

Exemple : Un projectile lancé suit une trajectoire parabolique. Si sa hauteur h (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est donnée par h(t) = -5t^2 + 20t + 10, alors :

  • La parabole est tournée vers le bas (a = -5 < 0)
  • Le sommet donne la hauteur maximale atteinte
  • Le projectile atteint sa hauteur maximale au temps t = -20{2 (-5)} = 2 secondes

7.2. Optimisation de coûts

Exemple : Le coût total C (en euros) pour produire x unités d'un produit peut être modélisé par C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 100.

  • La parabole est tournée vers le haut
  • Le sommet donne le nombre d'unités pour lequel le coût est minimal

8. Comment tracer une parabole ?

Méthode : Pour tracer la parabole de f(x) = ax^2 + bx + c :

  1. Déterminer le sens : regarder le signe de a
  2. Calculer le sommet : x_S = -b{2a} et y_S = f(x_S)
  3. Tracer l'axe de symétrie : droite verticale x = x_S
  4. Calculer quelques points : choisir des valeurs de x symétriques par rapport à x_S
  5. Relier les points en formant une courbe lisse

Exemple : Pour f(x) = x^2 - 4x + 3 :

  1. a = 1 > 0 → parabole tournée vers le haut
  2. x_S = --4{2 1} = 2 et y_S = f(2) = 2^2 - 4 2 + 3 = -1
  3. Sommet : (2 ; -1)
  4. Points symétriques : f(0) = 3, f(4) = 3 ; f(1) = 0, f(3) = 0
  5. On trace la parabole passant par ces points

À retenir

Résumé :

  1. Forme générale : f(x) = ax^2 + bx + c avec a 0

  2. Représentation : parabole

  3. Sens :

    • a > 0 → tournée vers le haut
    • a < 0 → tournée vers le bas

  4. Sommet : (-b{2a} ; f(-b{2a}))

  5. Axe de symétrie : x = -b{2a}

  6. Extremum :

    • Si a > 0 : minimum au sommet
    • Si a < 0 : maximum au sommet

Conseil : Pour bien comprendre une fonction du second degré, commencez toujours par identifier le signe de a et calculer les coordonnées du sommet. Ces informations vous donnent déjà beaucoup d'informations sur la parabole !