Fonctions affines et croissance linéaire

Introduction

Une suite arithmétique décrit une grandeur qui augmente du même nombre à chaque étape. Quand la grandeur évolue en continu — une température, un prix, un niveau d'eau —, on utilise sa version continue : la fonction affine. Cette leçon reprend l'essentiel de la Seconde et le relie aux suites.

1. Fonction affine et droite

Fonction affine : Une fonction affine est une fonction f définie sur ℝ par f(x) = mx + p, où m et p sont deux réels. Sa représentation graphique est une droite :

• m est le coefficient directeur ;
• p est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par le point (0 ; p).

Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit : Une température de C degrés Celsius correspond à F(C) = 1,8 C + 32 degrés Fahrenheit. Ici m = 1,8 et p = 32 : l'eau gèle à 0 °C, soit 32 °F, et bout à 100 °C, soit 1,8 × 100 + 32 = 212 °F.

2. Taux d'accroissement et coefficient directeur

Le taux d'accroissement d'une fonction affine est constant : Pour une fonction affine f(x) = mx + p et deux réels distincts x₁ et x₂ :

(f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = m

Le taux d'accroissement est le même entre deux points quelconques : c'est le coefficient directeur.

Pourquoi. f(x₂) - f(x₁) = (m x₂ + p) - (m x₁ + p) = m(x₂ - x₁) : on divise par x₂ - x₁.

Trouver une fonction affine à partir de deux points :

1. Calculer le coefficient directeur : m = (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁).
2. Trouver p en remplaçant les coordonnées d'un point dans f(x) = mx + p.

Retrouver la formule de conversion : On sait que 0 °C correspond à 32 °F et 100 °C à 212 °F. Le coefficient directeur est :

m = (212 - 32)/(100 - 0) = 180/100 = 1,8

Et F(0) = 32 donne p = 32 : on retrouve F(C) = 1,8 C + 32. Chaque degré Celsius de plus ajoute 1,8 degré Fahrenheit.

Lire m et p sur la droite :

1. p est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées : la droite passe par (0 ; p).
2. m : on choisit deux points de la droite dont les coordonnées se lisent bien (des coordonnées entières, si possible), et l'on calcule m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
3. Lecture directe : à partir d'un point de la droite, on avance de 1 vers la droite ; la droite monte de m si m > 0, descend de -m si m < 0.

Sur la droite de la conversion : La droite représentée plus haut coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 32), donc p = 32. Elle passe aussi par (100 ; 212) : on monte de 180 pour une avancée de 100, soit m = 180/100 = 1,8.

Reconnaître une croissance linéaire : Une grandeur dont l'accroissement est proportionnel à la durée écoulée — toujours la même augmentation pour une même durée — se modélise par une fonction affine.

3. Sens de variation

Sens de variation d'une fonction affine :

• Si m > 0, f est croissante sur ℝ.
• Si m < 0, f est décroissante sur ℝ.
• Si m = 0, f est constante.

Le parallèle avec les suites arithmétiques est complet : le coefficient directeur joue le rôle de la raison.

C'est m qui décide, pas p : f(x) = -0,5x + 8 est décroissante, même si son ordonnée à l'origine 8 est positive : le sens de variation se lit sur le coefficient de x, pas sur le nombre ajouté.

4. Suite arithmétique et fonction affine

Pour une suite arithmétique, u(n) = u(0) + n r. C'est exactement f(n), où f est la fonction affine f(x) = r x + u(0) :

Le nuage est sur la droite : Les points (n ; u(n)) d'une suite arithmétique de raison r sont sur la droite d'équation y = r x + u(0).

La suite donne les valeurs aux rangs entiers ; la fonction affine les donne pour tout réel.

5. Problème de seuil

Seuil en croissance linéaire : Pour savoir quand f(x) = mx + p dépasse une valeur S : résoudre l'inéquation mx + p > S. Si la grandeur n'est relevée qu'à des instants entiers, prendre le premier entier qui convient.

Diviser par un coefficient négatif change le sens : Si m < 0, isoler x demande de diviser par un nombre négatif, ce qui change le sens de l'inégalité : -2x + 10 < 4 ⟺ -2x < -6 ⟺ x > 3. Garder le signe < donnerait x < 3, alors que f(0) = 10 est bien au-dessus de 4.

Le niveau des océans : On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis 2020 par h(x) = 4x (en millimètres, x en années) : environ 4 mm par an, l'ordre de grandeur du rythme récent. Quand l'élévation atteindra-t-elle 10 cm, soit 100 mm ?

4x ≥ 100 ⟺ x ≥ 25

Dans ce modèle, l'élévation atteint 10 cm en 2045. (Les mesures montrent en réalité une accélération : le modèle linéaire est une première approximation.)

6. Deux modèles économiques

Offre, demande et point d'équilibre : Pour un prix de x euros (10 ≤ x ≤ 50), les acheteurs demandent D(x) = 200 - 4x objets et les producteurs en proposent O(x) = 6x - 50. La demande diminue quand le prix augmente (coefficient directeur -4 < 0), l'offre augmente (coefficient directeur 6 > 0).

Le point d'équilibre est le prix pour lequel l'offre égale la demande :

6x - 50 = 200 - 4x ⟺ 10x = 250 ⟺ x = 25

À 25 €, on échange O(25) = D(25) = 100 objets.

Un barème d'impôt affine par morceaux : Dans un barème simplifié (fictif), un revenu R n'est pas imposé jusqu'à 10 000 €, et la part au-delà est imposée à 11 % : pour R ≥ 10 000, l'impôt est I(R) = 0,11 (R - 10 000). Sur cette tranche, le coefficient directeur 0,11 est le taux marginal : chaque euro de plus est imposé à 11 %.

Pour R = 20 000 € : I = 0,11 × 10 000 = 1 100 €. Le taux moyen est (1 100)/(20 000) = 5,5 %, plus faible que le taux marginal, puisque les 10 000 premiers euros ne sont pas imposés.

À retenir

Résumé :

1. f(x) = mx + p : une droite de coefficient directeur m et d'ordonnée à l'origine p.

2. Le taux d'accroissement (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) est constant, égal à m.

3. f est croissante si m > 0, décroissante si m < 0 — comme une suite arithmétique selon le signe de sa raison.

4. Le nuage d'une suite arithmétique est sur la droite y = rx + u(0).

5. Seuil : résoudre une inéquation du premier degré — diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Conseil : Pour trouver une fonction affine, deux points suffisent : le coefficient directeur d'abord, l'ordonnée à l'origine ensuite. Vérifie toujours avec le second point.