Suites géométriques

Introduction

Les suites géométriques modélisent des phénomènes de multiplication répétée : croissance exponentielle d'une population, intérêts composés, décroissance radioactive, etc. Elles sont essentielles pour comprendre les évolutions exponentielles.

1. Définition d'une suite géométrique

Définition : Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un nombre réel q 0 tel que pour tout n :

[formule]

Le nombre q est appelé la raison de la suite géométrique.

Exemple : La suite (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = 3 u_n est géométrique de raison q = 3.

Ses premiers termes sont : u_0 = 2, u_1 = 6, u_2 = 18, u_3 = 54, u_4 = 162,

On remarque que chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par 3.

Astuce : Pour reconnaître une suite géométrique, vérifiez que le quotient entre deux termes consécutifs est constant :

[formule]

Attention : il faut que u_n 0 pour pouvoir diviser !

2. Formule explicite du terme général

Théorème : Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q, alors pour tout n :

[formule]

Exemple : Pour la suite géométrique de premier terme u_0 = 2 et de raison q = 3 :

• u_0 = 2 3^0 = 2 1 = 2 ✓
• u_1 = 2 3^1 = 2 3 = 6 ✓
• u_2 = 2 3^2 = 2 9 = 18 ✓
• u_5 = 2 3^5 = 2 243 = 486
• u_{10} = 2 3^{10} = 2 59,049 = 118,098

On peut calculer directement n'importe quel terme !

Démonstration intuitive : Pour passer de u_0 à u_n, on multiplie par q exactement n fois :

[formule]

3. Cas particulier : suite géométrique à partir du rang 1

Si la suite commence au rang 1 (ou un autre rang p), on adapte la formule :

Théorème : Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_1 et de raison q, alors pour tout n 1 :

[formule]

Exemple : La suite (v_n) définie pour n 1 par v_1 = 5 et v_{n+1} = 2 v_n :

• v_1 = 5
• v_2 = 5 2^{2-1} = 5 2 = 10
• v_3 = 5 2^{3-1} = 5 4 = 20
• v_{10} = 5 2^{10-1} = 5 512 = 2560

4. Sens de variation d'une suite géométrique

Propriété : Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 > 0 et de raison q > 0 :

• Si q > 1, la suite est croissante
• Si 0 < q < 1, la suite est décroissante
• Si q = 1, la suite est constante

Exemple 1 : La suite (u_n) de raison q = 3 > 1 et u_0 = 2 > 0 est croissante : 2, 6, 18, 54, 162,

Exemple 2 : La suite (v_n) définie par v_0 = 100 et v_{n+1} = 0{,}5 v_n a pour raison q = 0{,}5 avec 0 < q < 1.

Elle est décroissante : 100, 50, 25, 12{,}5, 6{,}25,

Attention : Si u_0 < 0, le sens de variation est inversé :

• Si q > 1 et u_0 < 0, la suite est décroissante
• Si 0 < q < 1 et u_0 < 0, la suite est croissante

5. Représentation graphique

Méthode : Dans un repère, les points (n, u_n) d'une suite géométrique avec q > 0 et u_0 > 0 sont situés sur une courbe exponentielle.

• Si q > 1 : courbe croissante (croissance exponentielle)
• Si 0 < q < 1 : courbe décroissante (décroissance exponentielle)

Exemple : Pour la suite (u_n) avec u_0 = 2 et q = 3, les points (0,2), (1,6), (2,18), (3,54) sont sur la courbe d'équation y = 2 3^x.

6. Somme des premiers termes

Formule de la somme : Si (u_n) est une suite géométrique de raison q 1, la somme des n+1 premiers termes (de u_0 à u_n) est :

[formule]

Exemple : Calculer la somme S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 (5 termes).

On reconnaît une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme u_0 = 2 :

• Nombre de termes : n+1 = 5, donc n = 4

[formule]

Vérification : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓

Attention : Si q = 1, la suite est constante : u_n = u_0 pour tout n.

Dans ce cas, la somme est simplement : S = (n+1) u_0

7. Applications pratiques

7.1. Intérêts composés

Exemple : Un capital de 1000 € est placé à un taux d'intérêt de 5% par an. Les intérêts sont capitalisés (ajoutés au capital chaque année).

On note C_n le capital après n années.

• C_0 = 1000
• C_{n+1} = C_n + 0{,}05 C_n = C_n (1 + 0{,}05) = 1{,}05 C_n

C'est une suite géométrique de raison q = 1{,}05.

Après 10 ans : C_{10} = 1000 1{,}05^{10} 1000 1{,}629 = 1629 €

7.2. Décroissance radioactive

Exemple : Une substance radioactive perd 20% de sa masse chaque année. On note M_n la masse après n années.

• M_0 = 1000 g (masse initiale)
• M_{n+1} = M_n - 0{,}2 M_n = M_n 0{,}8

C'est une suite géométrique de raison q = 0{,}8.

Après 5 ans : M_5 = 1000 0{,}8^5 = 1000 0{,}32768 = 327{,}68 g

7.3. Croissance d'une population

Exemple : Une population de bactéries double chaque heure. On note P_n le nombre de bactéries après n heures.

• P_0 = 100
• P_{n+1} = 2 P_n

C'est une suite géométrique de raison q = 2.

Après 6 heures : P_6 = 100 2^6 = 100 64 = 6400 bactéries

8. Comment reconnaître une suite géométrique ?

Méthode : Pour vérifier qu'une suite est géométrique :

1. Calculez les premiers termes
2. Vérifiez que u_{n+1}{u_n} est constant (c'est la raison q)
3. Si c'est le cas, utilisez la formule u_n = u_0 q^n

Exemple : Soit la suite (u_n) définie par u_n = 5 2^n pour n 0.

Calculons quelques termes :

• u_0 = 5 2^0 = 5
• u_1 = 5 2^1 = 10
• u_2 = 5 2^2 = 20
• u_3 = 5 2^3 = 40

Vérifions le quotient : u_1{u_0} = 10{5} = 2, u_2{u_1} = 20{10} = 2, u_3{u_2} = 40{20} = 2

Le quotient est constant égal à 2. C'est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u_0 = 5.

On peut vérifier : u_n = 5 2^n ✓

9. Comparaison avec les suites arithmétiques

Tableau comparatif :

À retenir

Résumé :

1. Définition : u_{n+1} = q u_n où q est la raison (q 0)

2. Formule explicite : u_n = u_0 q^n

3. Sens de variation (si u_0 > 0) :

   • q > 1 → suite croissante (croissance exponentielle)
   • 0 < q < 1 → suite décroissante (décroissance exponentielle)
   • q = 1 → suite constante

4. Somme : S = u_0 1 - q^{n+1}{1 - q} (si q 1)

5. Représentation : points sur une courbe exponentielle

Conseil pratique : Pour identifier une suite géométrique, calculez toujours u_{n+1}{u_n}. Si c'est constant, vous avez une suite géométrique et vous connaissez sa raison ! Attention aux cas où u_n = 0.