Suites arithmétiques

Suites numériques (introduction) — Première Tronc Commun

Suites arithmétiques

Introduction

Les suites arithmétiques sont parmi les suites les plus simples et les plus utiles. Elles modélisent des situations où une quantité augmente ou diminue de manière constante : progression d'un salaire, remboursement d'un crédit, accumulation d'épargne, etc.

1. Définition d'une suite arithmétique

Définition : Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que pour tout n :

[formule]

Le nombre r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Exemple : La suite (u_n) définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = u_n + 3 est arithmétique de raison r = 3.

Ses premiers termes sont : u_0 = 5, u_1 = 8, u_2 = 11, u_3 = 14, u_4 = 17,

On remarque que chaque terme s'obtient en ajoutant 3 au précédent.

Astuce : Pour reconnaître une suite arithmétique, vérifiez que la différence entre deux termes consécutifs est constante :

[formule]

2. Formule explicite du terme général

Théorème : Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, alors pour tout n :

[formule]

Exemple : Pour la suite arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = 3 :

  • u_0 = 5 + 0 3 = 5 ✓
  • u_1 = 5 + 1 3 = 8 ✓
  • u_2 = 5 + 2 3 = 11 ✓
  • u_5 = 5 + 5 3 = 20
  • u_{10} = 5 + 10 3 = 35

On peut calculer directement n'importe quel terme sans calculer tous les précédents !

Démonstration intuitive : Pour passer de u_0 à u_n, on ajoute r exactement n fois :

[formule]

3. Cas particulier : suite arithmétique à partir du rang 1

Si la suite commence au rang 1 (ou un autre rang p), on adapte la formule :

Théorème : Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_1 et de raison r, alors pour tout n 1 :

[formule]

Exemple : La suite (v_n) définie pour n 1 par v_1 = 7 et v_{n+1} = v_n + 4 :

  • v_1 = 7
  • v_2 = 7 + (2-1) 4 = 7 + 4 = 11
  • v_3 = 7 + (3-1) 4 = 7 + 8 = 15
  • v_{10} = 7 + (10-1) 4 = 7 + 36 = 43

4. Sens de variation d'une suite arithmétique

Propriété : Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r :

  • Si r > 0, la suite est croissante
  • Si r < 0, la suite est décroissante
  • Si r = 0, la suite est constante

Exemple 1 : La suite (u_n) de raison r = 3 > 0 est croissante : 5, 8, 11, 14, 17,

Exemple 2 : La suite (v_n) définie par v_0 = 20 et v_{n+1} = v_n - 5 a pour raison r = -5 < 0.

Elle est décroissante : 20, 15, 10, 5, 0, -5,

Démonstration : Pour une suite arithmétique : u_{n+1} - u_n = r

  • Si r > 0, alors u_{n+1} - u_n > 0, donc u_{n+1} > u_n : la suite est croissante
  • Si r < 0, alors u_{n+1} - u_n < 0, donc u_{n+1} < u_n : la suite est décroissante

5. Représentation graphique

Méthode : Dans un repère, les points (n, u_n) d'une suite arithmétique sont alignés sur une droite.

Cette droite a pour :

  • Coefficient directeur : r (la raison)
  • Ordonnée à l'origine : u_0

Exemple : Pour la suite (u_n) avec u_0 = 5 et r = 3, les points (0,5), (1,8), (2,11), (3,14) sont alignés sur la droite d'équation y = 3x + 5.

6. Somme des premiers termes

Formule de la somme : Si (u_n) est une suite arithmétique, la somme des n+1 premiers termes (de u_0 à u_n) est :

[formule]

Autrement dit : nombre de termes moyenne du premier et du dernier terme.

Exemple : Calculer la somme S = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 (6 termes).

On reconnaît une suite arithmétique de raison 3 :

  • Premier terme : u_0 = 5
  • Dernier terme : u_5 = 20
  • Nombre de termes : 6

[formule]

Vérification : 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = 75 ✓

Méthode alternative : On peut aussi utiliser la formule :

[formule]

7. Applications pratiques

7.1. Progression de salaire

Exemple : Un salarié gagne 2000 € par mois la première année, et son salaire augmente de 100 € chaque année.

On note S_n le salaire mensuel la n-ième année (n = 0 pour la première année).

  • S_0 = 2000
  • S_{n+1} = S_n + 100

C'est une suite arithmétique de raison r = 100.

Après 5 ans : S_5 = 2000 + 5 100 = 2500 €/mois

7.2. Remboursement d'un crédit

Exemple : Un crédit de 10 000 € est remboursé en 10 mensualités égales. Chaque mois, on rembourse 1000 €.

On note R_n le capital restant dû après n mensualités.

  • R_0 = 10,000
  • R_{n+1} = R_n - 1000

C'est une suite arithmétique de raison r = -1000 (décroissante).

Après 7 mensualités : R_7 = 10,000 + 7 (-1000) = 3000 €

7.3. Accumulation d'épargne

Exemple : Chaque mois, on place 50 € sur un compte d'épargne. On note E_n l'épargne totale après n mois.

  • E_0 = 0
  • E_{n+1} = E_n + 50

C'est une suite arithmétique de raison r = 50.

Après 24 mois (2 ans) : E_{24} = 0 + 24 50 = 1200 €

8. Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Méthode : Pour vérifier qu'une suite est arithmétique :

  1. Calculez les premiers termes
  2. Vérifiez que u_{n+1} - u_n est constant (c'est la raison r)
  3. Si c'est le cas, utilisez la formule u_n = u_0 + n r

Exemple : Soit la suite (u_n) définie par u_n = 7 - 3n pour n 0.

Calculons quelques termes :

  • u_0 = 7 - 0 = 7
  • u_1 = 7 - 3 = 4
  • u_2 = 7 - 6 = 1
  • u_3 = 7 - 9 = -2

Vérifions la différence : u_1 - u_0 = 4 - 7 = -3, u_2 - u_1 = 1 - 4 = -3, u_3 - u_2 = -2 - 1 = -3

La différence est constante égale à -3. C'est une suite arithmétique de raison r = -3 et de premier terme u_0 = 7.

On peut vérifier : u_n = 7 + n (-3) = 7 - 3n ✓

À retenir

Résumé :

  1. Définition : u_{n+1} = u_n + r où r est la raison

  2. Formule explicite : u_n = u_0 + n r

  3. Sens de variation :

    • r > 0 → suite croissante
    • r < 0 → suite décroissante
    • r = 0 → suite constante

  4. Somme : S = (n+1) u_0 + u_n{2}

  5. Représentation : points alignés sur une droite

Conseil pratique : Pour identifier une suite arithmétique, calculez toujours u_{n+1} - u_n. Si c'est constant, vous avez une suite arithmétique et vous connaissez sa raison !