Notion de suite et modes de génération

Introduction

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, où chaque nombre est associé à un rang (position). Les suites sont omniprésentes en mathématiques et permettent de modéliser de nombreux phénomènes : croissance de population, placements financiers, algorithmes informatiques, etc.

1. Définition d'une suite

Définition : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n (ou à partir d'un certain rang) un nombre réel noté u_n.

On note généralement une suite (u_n) ou (u_n)_{n N}.

Exemple : La suite définie par u_n = 2n + 1 pour n 0 donne :

• u_0 = 2 0 + 1 = 1
• u_1 = 2 1 + 1 = 3
• u_2 = 2 2 + 1 = 5
• u_3 = 2 3 + 1 = 7

On peut écrire : (u_n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, )

Terminologie :

• u_n est appelé le terme de rang n ou terme général
• u_0 est le premier terme (ou terme initial)
• L'ensemble des termes forme la suite

2. Modes de génération d'une suite

Il existe plusieurs façons de définir une suite. Les deux principales sont :

2.1. Définition explicite (formule directe)

Définition : Une suite est définie explicitement lorsqu'on peut calculer directement u_n en fonction de n grâce à une formule.

On écrit : u_n = f(n) où f est une fonction.

Exemple 1 : La suite (u_n) définie par u_n = n^2 pour n 0 :

[formule]

La suite est : (0, 1, 4, 9, 16, 25, )

Exemple 2 : La suite (v_n) définie par v_n = 3n - 2 pour n 1 :

[formule]

La suite est : (1, 4, 7, 10, 13, )

2.2. Définition par récurrence

Définition : Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne :

1. Le premier terme (ou les premiers termes)
2. Une relation de récurrence qui permet de calculer chaque terme à partir du (ou des) précédent(s)

Exemple 1 : récurrence simple : La suite (u_n) définie par :

• u_0 = 5
• u_{n+1} = u_n + 3 pour tout n 0

Calculons les premiers termes :

• u_0 = 5
• u_1 = u_0 + 3 = 5 + 3 = 8
• u_2 = u_1 + 3 = 8 + 3 = 11
• u_3 = u_2 + 3 = 11 + 3 = 14

La suite est : (5, 8, 11, 14, 17, )

On remarque que chaque terme s'obtient en ajoutant 3 au précédent. C'est une suite arithmétique de raison 3.

Exemple 2 : récurrence avec multiplication : La suite (v_n) définie par :

• v_0 = 2
• v_{n+1} = 3 v_n pour tout n 0

Calculons les premiers termes :

• v_0 = 2
• v_1 = 3 v_0 = 3 2 = 6
• v_2 = 3 v_1 = 3 6 = 18
• v_3 = 3 v_2 = 3 18 = 54

La suite est : (2, 6, 18, 54, 162, )

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par 3. C'est une suite géométrique de raison 3.

Exemple 3 : récurrence d'ordre 2 : La suite (w_n) définie par :

• w_0 = 1, w_1 = 1
• w_{n+2} = w_{n+1} + w_n pour tout n 0

Cette suite célèbre est la suite de Fibonacci :

• w_0 = 1
• w_1 = 1
• w_2 = w_1 + w_0 = 1 + 1 = 2
• w_3 = w_2 + w_1 = 2 + 1 = 3
• w_4 = w_3 + w_2 = 3 + 2 = 5

La suite est : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, )

3. Représentation graphique

Méthode : On peut représenter une suite de deux façons :

1. Nuage de points : on place les points de coordonnées (n, u_n) dans un repère
2. Diagramme en bâtons : on trace des segments verticaux de hauteur u_n à l'abscisse n

Exemple : Pour la suite (u_n) définie par u_n = 2n + 1 :

Dans un repère, les points (0,1), (1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11) sont alignés sur une droite. C'est caractéristique d'une suite arithmétique.

4. Sens de variation d'une suite

Définition :

• Une suite (u_n) est croissante si pour tout n, u_{n+1} u_n
• Une suite (u_n) est décroissante si pour tout n, u_{n+1} u_n
• Une suite (u_n) est constante si pour tout n, u_{n+1} = u_n
• Une suite (u_n) est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante

Méthode : Pour étudier le sens de variation, on calcule la différence u_{n+1} - u_n :

• Si u_{n+1} - u_n > 0 pour tout n, la suite est croissante
• Si u_{n+1} - u_n < 0 pour tout n, la suite est décroissante
• Si u_{n+1} - u_n = 0 pour tout n, la suite est constante

Exemple : Soit la suite (u_n) définie par u_n = n^2 pour n 0.

Calculons u_{n+1} - u_n : [formule]

Pour n 0, on a 2n + 1 > 0, donc u_{n+1} - u_n > 0.

La suite (u_n) est croissante.

5. Suites particulières

5.1. Suite constante

Définition : Une suite est constante si tous ses termes sont égaux : u_n = c pour tout n, où c est un nombre réel fixé.

Exemple : La suite (u_n) définie par u_n = 5 pour tout n est constante : (5, 5, 5, 5, )

5.2. Suite alternée

Définition : Une suite est alternée si ses termes alternent entre valeurs positives et négatives.

Exemple : La suite (u_n) définie par u_n = (-1)^n pour n 0 :

• u_0 = (-1)^0 = 1
• u_1 = (-1)^1 = -1
• u_2 = (-1)^2 = 1
• u_3 = (-1)^3 = -1

La suite est : (1, -1, 1, -1, 1, -1, )

6. Applications pratiques

Application 1 : Placement financier : Un capital de 1000 € est placé à un taux d'intérêt simple de 3% par an. On note C_n le capital après n années.

• C_0 = 1000
• C_{n+1} = C_n + 0{,}03 1000 = C_n + 30

Chaque année, on ajoute 30 €. C'est une suite arithmétique de raison 30.

Application 2 : Population : Une population de bactéries double chaque heure. On note P_n le nombre de bactéries après n heures.

• P_0 = 100
• P_{n+1} = 2 P_n

Chaque heure, on multiplie par 2. C'est une suite géométrique de raison 2.

À retenir

Résumé :

1. Une suite est une fonction qui associe à chaque entier n un nombre réel u_n

2. Deux modes de définition :

   • Explicite : u_n = f(n) (formule directe)
   • Par récurrence : u_0 donné et u_{n+1} = g(u_n)

3. Sens de variation : étudier le signe de u_{n+1} - u_n

4. Les suites arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers très importants

Conseil : Pour bien comprendre une suite, calculez toujours les premiers termes (au moins u_0, u_1, u_2, u_3) et essayez de repérer une régularité. Cela vous aidera à identifier le type de suite et à prévoir son comportement.