Indices et coefficients multiplicateurs

Introduction

Les indices sont des outils statistiques permettant de suivre l'évolution d'une grandeur dans le temps par rapport à une année de référence. Ils sont très utilisés en économie (indice des prix, indice boursier, etc.).

1. Définition d'un indice

Définition : Un indice est une grandeur qui mesure l'évolution d'une valeur par rapport à une valeur de référence (année de base).

Si V_0 est la valeur de référence (année de base) et V_t est la valeur à l'année t, alors l'indice I_t à l'année t est :

[formule]

L'indice de l'année de base est toujours égal à 100.

Formule : [formule]

Exemple : Le prix d'un produit était de 50 € en 2020 (année de base) et de 60 € en 2023.

Indice en 2020 : I_{2020} = 50{50} 100 = 100
Indice en 2023 : I_{2023} = 60{50} 100 = 120

L'indice est passé de 100 à 120, ce qui signifie une augmentation de 20%.

2. Relation entre indice et taux d'évolution

Relation : Si l'indice passe de I_0 = 100 à I_t, alors le taux d'évolution t est :

[formule]

Inversement, si le taux d'évolution est t, alors l'indice est :

[formule]

Exemple 1 : Un indice passe de 100 à 115.

[formule]

Le taux d'évolution est de +15% (augmentation).

Exemple 2 : Un indice passe de 100 à 85.

[formule]

Le taux d'évolution est de -15% (diminution).

3. Calculer une valeur à partir d'un indice

Méthode : Pour calculer la valeur V_t connaissant l'indice I_t et la valeur de référence V_0 :

[formule]

Exemple : En 2020 (année de base), le prix d'un produit était de 80 €. En 2023, l'indice est de 125.

Prix en 2023 : V_{2023} = 80 125{100} = 80 1{,}25 = 100 €

4. Calculer un indice à partir de deux valeurs

Méthode : Pour calculer l'indice I_t connaissant la valeur V_t et la valeur de référence V_0 :

[formule]

Exemple : Un salaire était de 2000 € en 2020 et de 2300 € en 2023.

Indice en 2023 (base 2020) : I_{2023} = 2300{2000} 100 = 115

L'indice est de 115, ce qui correspond à une augmentation de 15%.

5. Comparaison de deux indices

Méthode : Pour comparer deux indices I_t et I_s (avec la même année de base), le taux d'évolution entre les années s et t est :

[formule]

Exemple : Un indice (base 2020) vaut 110 en 2021 et 132 en 2022.

Taux d'évolution entre 2021 et 2022 :

[formule]

L'indice a augmenté de 20% entre 2021 et 2022.

6. Changement de base

Définition : Lorsqu'on change l'année de référence, on dit qu'on effectue un changement de base (ou rebasing).

Méthode : Pour convertir un indice de base A en indice de base B, on utilise la formule :

[formule]

où I_t^{(A)} est l'indice à l'année t avec la base A, et I_B^{(A)} est l'indice de la nouvelle base B avec l'ancienne base A.

Exemple : On a des indices avec la base 2020 :

2020 : I_{2020} = 100
2021 : I_{2021} = 105
2022 : I_{2022} = 110

On veut convertir en base 2021.

Nouvelle base 2021 : I_{2021}^{(2021)} = 105{105} 100 = 100
2020 : I_{2020}^{(2021)} = 100{105} 100 95{,}24
2022 : I_{2022}^{(2021)} = 110{105} 100 104{,}76

7. Indice simple et indice composé

7.1. Indice simple

Définition : Un indice simple mesure l'évolution d'une seule grandeur dans le temps.

Exemple : L'indice du prix du pain (base 2020 = 100) :

2021 : 102
2022 : 105
2023 : 108

7.2. Indice composé (ou indice synthétique)

Définition : Un indice composé (ou indice synthétique) mesure l'évolution d'un ensemble de grandeurs pondérées.

Il est calculé comme une moyenne pondérée des indices simples :

[formule]

où p_i sont les pondérations et I_i sont les indices simples.

Exemple : Un indice des prix à la consommation est calculé à partir de plusieurs postes :

Alimentation (pondération 30%, indice 105)
Logement (pondération 25%, indice 110)
Transport (pondération 20%, indice 108)
Autres (pondération 25%, indice 102)

Indice composé : 30 105 + 25 110 + 20 108 + 25 102{100} = 10610{100} = 106{,}1

8. Applications pratiques

8.1. Indice des prix à la consommation (IPC)

Exemple : L'IPC mesure l'évolution du coût de la vie. Si l'IPC passe de 100 à 103 en un an, cela signifie que les prix ont augmenté de 3% en moyenne.

8.2. Indice boursier

Exemple : Un indice boursier mesure l'évolution d'un portefeuille d'actions. Si l'indice CAC 40 passe de 6000 à 6300, cela représente une hausse de 5%.

8.3. Pouvoir d'achat

Exemple : Si les salaires augmentent de 2% (indice des salaires = 102) et que les prix augmentent de 3% (IPC = 103), alors :

[formule]

Le pouvoir d'achat a diminué d'environ 1%.

9. Coefficient multiplicateur et indice

Relation : Le coefficient multiplicateur k et l'indice I sont liés par :

[formule]

Exemple : Si un indice passe de 100 à 120 :

Coefficient multiplicateur : k = 120{100} = 1{,}2
Taux d'évolution : t = 1{,}2 - 1 = 0{,}2 = 20%

La valeur a été multipliée par 1,2, soit une augmentation de 20%.

À retenir

Résumé :

Définition : I_t = V_t{V_0} 100 avec I_0 = 100
Taux d'évolution : t = I_t - 100{100} = I_t{100} - 1
Valeur à partir de l'indice : V_t = V_0 I_t{100}
Comparaison : t = I_t - I_s{I_s}
Changement de base : I_t^{(B)} = I_t^{(A)}{I_B^{(A)}} 100
Coefficient multiplicateur : k = I{100}

Conseil :

L'indice de l'année de base est toujours 100
Un indice supérieur à 100 indique une augmentation
Un indice inférieur à 100 indique une diminution
Pour comparer deux indices, utilisez toujours la même année de base