Taux d'évolution et évolutions successives

Information chiffrée — Première Tronc Commun

Taux d'évolution et évolutions successives

Introduction

Le taux d'évolution permet de quantifier précisément les changements. Lorsque plusieurs évolutions se succèdent, il faut savoir calculer le taux d'évolution global et comprendre que les évolutions ne s'additionnent pas simplement.

1. Taux d'évolution

Définition : Le taux d'évolution (ou taux de variation) d'une grandeur qui passe de V_0 (valeur initiale) à V_1 (valeur finale) est :

[formule]

où V = V_1 - V_0 est la variation absolue.

Formule : [formule]

Exemple 1 : Augmentation : Un prix passe de 50 € à 65 €.

[formule]

Le taux d'évolution est de +30% (augmentation).

Exemple 2 : Diminution : Une population passe de 8000 à 7200 habitants.

[formule]

Le taux d'évolution est de -10% (diminution).

2. Coefficient multiplicateur

Définition : Le coefficient multiplicateur k est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale :

[formule]

On a donc : k = V_1{V_0} = 1 + t

Relation : [formule]

Exemple 1 : Si le taux d'évolution est t = 25% = 0{,}25, alors :

[formule]

Pour augmenter une valeur de 25%, on la multiplie par 1{,}25.

Exemple 2 : Si le taux d'évolution est t = -15% = -0{,}15, alors :

[formule]

Pour diminuer une valeur de 15%, on la multiplie par 0{,}85.

3. Calculer une valeur finale

Méthode : Pour calculer la valeur finale V_1 connaissant la valeur initiale V_0 et le taux d'évolution t :

[formule]

Exemple 1 : Un salaire de 2000 € augmente de 12%.

[formule]

Le nouveau salaire est 2240 €.

Exemple 2 : Un prix de 80 € diminue de 20%.

[formule]

Le nouveau prix est 64 €.

4. Calculer une valeur initiale

Méthode : Pour calculer la valeur initiale V_0 connaissant la valeur finale V_1 et le taux d'évolution t :

[formule]

Exemple : Après une augmentation de 15%, un prix est de 115 €. Quel était le prix initial ?

[formule]

Le prix initial était 100 €.

5. Évolutions successives

Attention : Les taux d'évolution ne s'additionnent pas ! Si une valeur subit deux évolutions successives, le taux global n'est pas égal à la somme des deux taux.

5.1. Taux d'évolution global

Formule : Si une valeur subit deux évolutions successives de taux t_1 puis t_2, le taux d'évolution global t_{global} est :

[formule]

ou encore, avec les coefficients multiplicateurs :

[formule]

Exemple : Un prix subit une augmentation de 20% puis une diminution de 10%.

  • Première évolution : k_1 = 1 + 0{,}20 = 1{,}20
  • Deuxième évolution : k_2 = 1 - 0{,}10 = 0{,}90
  • Coefficient global : k_{global} = 1{,}20 0{,}90 = 1{,}08
  • Taux global : t_{global} = 1{,}08 - 1 = 0{,}08 = 8%

Le prix a finalement augmenté de 8% (et non de 20% - 10% = 10% !).

5.2. Évolutions identiques successives

Formule : Si une valeur subit n évolutions identiques de taux t, le coefficient multiplicateur global est :

[formule]

et le taux global est :

[formule]

Exemple : Un capital de 1000 € augmente de 5% chaque année pendant 3 ans.

Coefficient annuel : k = 1 + 0{,}05 = 1{,}05
Coefficient global : k_{global} = 1{,}05^3 = 1{,}157625
Taux global : t_{global} = 1{,}157625 - 1 = 0{,}157625 = 15{,}7625%

Valeur finale : 1000 1{,}157625 = 1157{,}63 €

6. Taux d'évolution réciproque

Définition : Le taux d'évolution réciproque t' est le taux qu'il faut appliquer pour revenir à la valeur initiale après une évolution de taux t.

Si V_0 t V_1, alors V_1 t' V_0.

Formule : [formule]

ou encore :

[formule]

Exemple : Un prix augmente de 25% (de 100 € à 125 €).

Pour revenir au prix initial, il faut appliquer un taux réciproque :

[formule]

Il faut diminuer de 20% pour revenir au prix initial (et non de 25% !).

7. Taux moyen

Définition : Le taux moyen t_m est le taux constant qu'il faudrait appliquer à chaque période pour obtenir le même résultat qu'avec des taux variables.

Si une valeur subit n évolutions successives de coefficients k_1, k_2, , k_n, alors :

[formule]

et t_m = k_m - 1.

Exemple : Un capital triple en 2 ans (augmente de 200%).

Coefficient global : k_{global} = 3
Coefficient moyen annuel : k_m = 3 1{,}732
Taux moyen annuel : t_m = 1{,}732 - 1 = 0{,}732 = 73{,}2%

Le taux moyen annuel est d'environ 73{,}2% (et non 100% !).

8. Applications pratiques

8.1. Inflation et pouvoir d'achat

Exemple : Si les prix augmentent de 3% par an pendant 5 ans, quel est le taux d'inflation global ?

[formule]

[formule]

Les prix ont augmenté d'environ 15{,}93% sur 5 ans.

8.2. Réductions successives

Exemple : Un article coûte 200 €. Il subit une réduction de 20% puis une autre de 15%.

  • Première réduction : k_1 = 0{,}80
  • Deuxième réduction : k_2 = 0{,}85
  • Coefficient global : k_{global} = 0{,}80 0{,}85 = 0{,}68
  • Taux global : t_{global} = 0{,}68 - 1 = -0{,}32 = -32%

Prix final : 200 0{,}68 = 136 €

La réduction globale est de 32% (et non de 35% !).

À retenir

Résumé :

  1. Taux d'évolution : t = V_1 - V_0{V_0} = V_1{V_0} - 1

  2. Coefficient multiplicateur : k = 1 + t = V_1{V_0}

  3. Valeur finale : V_1 = V_0 (1 + t) = V_0 k

  4. Valeur initiale : V_0 = V_1{1 + t} = V_1{k}

  5. Évolutions successives : k_{global} = k_1 k_2 et t_{global} = (1 + t_1)(1 + t_2) - 1

  6. Évolutions identiques : k_{global} = (1 + t)^n

  7. Taux réciproque : t' = -t{1 + t}

  8. Taux moyen : k_m = [n]{k_1 k_2 k_n}

Attention :

  • Les taux d'évolution ne s'additionnent jamais directement
  • Pour annuler une évolution, le taux réciproque n'est pas l'opposé du taux initial
  • Le taux moyen n'est pas la moyenne arithmétique des taux