Proportions et pourcentages

Introduction

Les proportions et les pourcentages sont des outils essentiels pour analyser et comparer des données. Ils permettent de quantifier des parts, des fréquences et des évolutions dans de nombreux domaines : économie, démographie, statistiques, etc.

1. Notion de proportion

Définition : Une proportion (ou fréquence) est le quotient d'un effectif partiel par l'effectif total.

Si dans un ensemble de n éléments, p éléments possèdent une certaine propriété, alors la proportion d'éléments possédant cette propriété est :

[formule]

Exemple 1 : Dans une classe de 30 élèves, 18 élèves sont des filles.

La proportion de filles dans la classe est : 18{30} = 0{,}6 ou 3{5}.

Exemple 2 : Lors d'un sondage, 240 personnes sur 800 ont répondu « oui ».

La proportion de « oui » est : 240{800} = 0{,}3 = 3{10}.

2. Pourcentage

Définition : Un pourcentage est une proportion exprimée en centièmes. On le note avec le symbole %.

Pour convertir une proportion en pourcentage, on multiplie par 100 :

[formule]

Formule : [formule]

Exemple 1 : Dans la classe de 30 élèves avec 18 filles :

[formule]

Il y a 60% de filles dans la classe.

Exemple 2 : Sur 800 personnes, 240 ont répondu « oui » :

[formule]

30% des personnes ont répondu « oui ».

3. Calculer une part à partir d'un pourcentage

Méthode : Pour calculer une part connaissant le total et le pourcentage :

[formule]

Exemple 1 : Dans une ville de 25 000 habitants, 28% ont moins de 18 ans.

Nombre d'habitants de moins de 18 ans : 25,000 28{100} = 25,000 0{,}28 = 7,000

Il y a 7 000 habitants de moins de 18 ans.

Exemple 2 : Un article coûte 80 €. Une réduction de 15% est appliquée.

Montant de la réduction : 80 15{100} = 80 0{,}15 = 12 €

Prix après réduction : 80 - 12 = 68 €

4. Calculer un total à partir d'une part et d'un pourcentage

Méthode : Pour calculer le total connaissant une part et le pourcentage qu'elle représente :

[formule]

Exemple : Dans une école, 35% des élèves sont en première, soit 140 élèves.

Nombre total d'élèves : 140{35} 100 = 4 100 = 400

L'école compte 400 élèves au total.

5. Pourcentage de pourcentage

Méthode : Pour calculer un pourcentage d'un pourcentage, on multiplie les deux pourcentages :

[formule]

Exemple : Dans une entreprise, 60% des employés sont des femmes. Parmi les femmes, 25% occupent un poste de direction.

Pourcentage de femmes dirigeantes dans l'entreprise :

[formule]

15% des employés sont des femmes dirigeantes.

6. Évolution en pourcentage

Définition : L'évolution en pourcentage mesure la variation relative d'une quantité.

Si une quantité passe de V_0 (valeur initiale) à V_1 (valeur finale), l'évolution en pourcentage est :

[formule]

Exemple 1 : Augmentation : Le prix d'un produit passe de 50 € à 60 €.

Évolution : 60 - 50{50} 100 = 10{50} 100 = 20%

Le prix a augmenté de 20%.

Exemple 2 : Diminution : Le nombre d'élèves passe de 200 à 170.

Évolution : 170 - 200{200} 100 = -30{200} 100 = -15%

Le nombre d'élèves a diminué de 15% (ou a baissé de 15%).

7. Proportionnalité et tableau de proportionnalité

Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple : Un tableau de proportionnalité entre le nombre d'articles et le prix :

Le coefficient de proportionnalité est 3 (prix = nombre × 3).

Méthode : Règle de trois : Pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité, on utilise la règle de trois :

[formule]

Exemple : Si 5 kg de pommes coûtent 8 €, combien coûtent 12 kg ?

[formule]

12 kg de pommes coûtent 19,20 €.

8. Applications pratiques

8.1. Réduction et augmentation

Exemple : Réduction : Un article coûte 120 €. Une réduction de 25% est appliquée.

Montant de la réduction : 120 25{100} = 30 €
Prix après réduction : 120 - 30 = 90 €

Méthode directe : Prix après réduction = 120 (1 - 0{,}25) = 120 0{,}75 = 90 €

Exemple : Augmentation : Un salaire de 2000 € augmente de 8%.

Montant de l'augmentation : 2000 8{100} = 160 €
Nouveau salaire : 2000 + 160 = 2160 €

Méthode directe : Nouveau salaire = 2000 (1 + 0{,}08) = 2000 1{,}08 = 2160 €

8.2. Part de marché

Exemple : Sur un marché, une entreprise A détient 35% des parts, une entreprise B détient 28%, et le reste est partagé entre d'autres entreprises.

Part des autres entreprises : 100% - 35% - 28% = 37%

À retenir

Résumé :

1. Proportion : p{n} où p est la partie et n le total

2. Pourcentage : p{n} 100 = x%

3. Calculer une part : partie = total x{100}

4. Calculer le total : total = {partie}{x} 100

5. Évolution : V_1 - V_0{V_0} 100

6. Réduction : Prix final = Prix initial × (1 - x{100})

7. Augmentation : Valeur finale = Valeur initiale × (1 + x{100})

Conseil : Pour éviter les erreurs, vérifiez toujours que vos résultats sont cohérents :

• Un pourcentage est toujours entre 0 et 100 (ou peut être négatif pour une diminution)
• Une part ne peut pas être supérieure au total
• Vérifiez que la somme des pourcentages d'un tout fait bien 100%