Lectures graphiques : fonctions, droites et diagrammes

Introduction

À l'épreuve anticipée, de nombreuses questions d'automatismes se résolvent en lisant un graphique : une courbe, une droite, un diagramme statistique. Encore faut-il savoir quoi lire, et où. Cette leçon rassemble ces lectures.

1. Images et antécédents

Sur la courbe d'une fonction f, chaque point a pour coordonnées (x ;f(x)).

Lire une image, lire des antécédents :

• L'image de a : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, et on lit l'ordonnée.
• Les antécédents de k : on part de k sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale jusqu'à la courbe, et on lit les abscisses des points d'intersection. Il peut n'y en avoir aucun, un seul ou plusieurs.

2. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

On considère la fonction f définie sur [-2 ;4], dont la courbe est tracée ci-dessus, avec la droite horizontale d'équation y = -3.

Résoudre graphiquement :

• f(x) = k : on trace la droite d'équation y = k ; les solutions sont les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
• f(x) < k : les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de cette droite.
• f(x) > k : ceux situés au-dessus.

Lecture sur la figure :

• f(x) = -3 : la courbe coupe la droite y = -3 aux points A et B, d'abscisses 0 et 2. Les solutions sont x = 0 et x = 2.
• f(x) < -3 : la courbe est sous la droite entre A et B : les solutions sont les x de ]0 ;2[.
• f(x) > -3 : la courbe est au-dessus de la droite à gauche de A et à droite de B : sur [-2 ;4], les solutions sont les x de [-2 ;0[ et de ]2 ;4].
• f(x) = 5 : la courbe atteint la hauteur 5 à ses deux extrémités, en x = -2 et x = 4.

Lire les abscisses, pas les ordonnées : Les solutions d'une équation f(x) = k sont des valeurs de x, lues sur l'axe horizontal. Répondre « -3 » à « résoudre f(x) = -3 » confond la valeur cherchée et l'image donnée.

3. Signe et variations lus sur un graphique

Signe d'une fonction : f(x) > 0 là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, f(x) < 0 là où elle est en dessous, et f(x) = 0 aux points où elle coupe l'axe.

Sur la figure de la partie 2 : La courbe coupe l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3. Sur [-2 ;4] :

Variations d'une fonction : On lit la courbe de gauche à droite : elle monte, la fonction est croissante ; elle descend, la fonction est décroissante. On résume dans un tableau de variations, avec les valeurs aux bornes et aux changements de sens.

Sur [-2 ;4], la fonction de la partie 2 décroît de 5 à -4 entre x = -2 et x = 1, puis croît de -4 à 5 entre x = 1 et x = 4 : son minimum est -4, atteint en x = 1. Le tableau de variations ci-dessus le résume.

Signe et variation : deux questions différentes : Une fonction peut être négative et croissante : sur [1 ;3[, la courbe monte, mais reste sous l'axe.

4. Droites : équation réduite et coefficient directeur

Équation réduite : Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite de la forme

y = mx + p

• p est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ;p) ;
• m est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, y varie de m.

Coefficient directeur à partir de deux points : Si A(xA ;yA) et B(xB ;yB) sont deux points de la droite, avec xA ≠ xB :

m = (yB - yA)/(xB - xA)

Exemples :

• Avec A(1 ;2) et B(3 ;8) : m = (8 - 2)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
• Lire sur un graphique : on repère le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (il donne p), puis on se déplace de 1 vers la droite et on mesure la montée ou la descente (elle donne m). Si les nœuds du quadrillage ne tombent pas juste, on se déplace de 2 ou de 3 unités et on divise.

Tracer une droite : Pour tracer y = 2x - 3 : on place le point (0 ;-3), puis, depuis ce point, on avance de 1 et on monte de 2, ce qui donne (1 ;-1). Deux points suffisent ; un troisième, par exemple (2 ;1), sert de contrôle.

5. Lire des graphiques statistiques

Avant de lire un graphique : Repérer l'origine, les unités et l'échelle de chaque axe, et ce que représente chaque barre ou chaque secteur. Une lecture sans unité n'a pas de sens.

Diagramme en barres : la hauteur d'une barre est l'effectif (ou la fréquence) de la valeur correspondante.

Histogramme : les valeurs sont regroupées en classes ; lorsque les classes ont toutes la même amplitude, la hauteur de chaque barre est l'effectif de la classe. Pour estimer la moyenne, on remplace chaque classe par son centre.

Diagramme circulaire : l'angle d'un secteur est proportionnel à l'effectif ; le disque entier, 360°, représente 100 %.

Diagramme circulaire : Sur 40 élèves, 14 préfèrent le football, 10 le basket, 6 la natation et 10 un autre sport.

Par exemple : 14/40 × 360 = 126, soit un angle de 126°. Contrôle : 126 + 90 + 54 + 90 = 360.

Diagramme en boîte : il résume une série par cinq valeurs, le minimum, Q₁, la médiane, Q₃ et le maximum.

Lire une boîte : Les notes d'une classe sont résumées par la boîte ci-dessus : minimum 3, Q₁ = 8, médiane 12, Q₃ = 15, maximum 19.

• Au moins 25 % des notes sont inférieures ou égales à 8 ;
• au moins la moitié des notes sont supérieures ou égales à 12 ;
• au moins 75 % des notes sont inférieures ou égales à 15 ;
• l'écart interquartile vaut 15 - 8 = 7 points, l'étendue 19 - 3 = 16 points.

Ce qu'une boîte ne dit pas : Une boîte ne donne pas la moyenne, ni le nombre de valeurs. Et « au moins 25 % des notes sont inférieures ou égales à Q₁ » ne veut pas dire que 25 % des notes valent Q₁.

À retenir

Résumé :

1. Résoudre f(x) = k : abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite y = k ; f(x) < k : là où la courbe est sous la droite.

2. Signe : au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses. Variations : la courbe monte ou descend, lue de gauche à droite.

3. Droite y = mx + p : p se lit sur l'axe des ordonnées, m = (yB - yA)/(xB - xA).

4. Diagrammes : repérer unités et échelles ; dans un diagramme circulaire, 360° correspondent à 100 % ; une boîte donne Q₁, la médiane, Q₃, jamais la moyenne.