Calcul littéral : développer, factoriser, résoudre

Introduction

Développer, factoriser, résoudre une équation ou une inéquation du premier degré, étudier un signe : ce sont des automatismes de l'épreuve anticipée, à faire sans calculatrice et en peu de temps. Cette leçon rassemble les règles et les méthodes, avec un contrôle rapide pour chacune.

1. Développer et réduire

Distributivité : k(a + b) = ka + kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Un signe « - » devant une parenthèse change le signe de chaque terme : -(a - b) = -a + b.

Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b²

Exemples :

• 3(2x - 5) - (x - 4) = 6x - 15 - x + 4 = 5x - 11
• (x + 3)(2x - 1) = 2x² - x + 6x - 3 = 2x² + 5x - 3
• (x - 4)² = x² - 2 × x × 4 + 4² = x² - 8x + 16
• (2x + 3)(2x - 3) = (2x)² - 3² = 4x² - 9

Le contrôle qui ne coûte rien : Remplacer x par une valeur simple, par exemple x = 2, dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux nombres doivent être égaux. Pour (x + 3)(2x - 1) : 5 × 3 = 15 et 2 × 4 + 10 - 3 = 15.

L'erreur classique : (x - 4)² ≠ x² - 16 et (x - 4)² ≠ x² + 16 : le double produit -8x ne disparaît jamais.

2. Factoriser

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est le geste inverse du développement.

Deux façons de factoriser :

1. Un facteur commun : ka + kb = k(a + b).
   • 6x² + 9x = 3x × 2x + 3x × 3 = 3x(2x + 3)
   • (x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 4) = (x + 2)[(3x - 1) + (x + 4)] = (x + 2)(4x + 3)
2. Une identité remarquable, lue de droite à gauche :
   • x² - 25 = x² - 5² = (x - 5)(x + 5)
   • 9x² - 4 = (3x)² - 2² = (3x - 2)(3x + 2)

Vérifier une factorisation : On redéveloppe le résultat : on doit retrouver exactement l'expression de départ.

3. Équations du premier degré

Résoudre une équation du premier degré : On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre, en faisant la même opération sur les deux membres, puis on divise par le coefficient de x.

Exemples :

• 5x - 3 = 2x + 9 ⟺ 5x - 2x = 9 + 3 ⟺ 3x = 12 ⟺ x = 4. Contrôle : 5 × 4 - 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17.
• 12/x = 3 (avec x ≠ 0) ⟺ 12 = 3x ⟺ x = 4.
• x² = 49 ⟺ x = 7 ou x = -7 : deux solutions.
• x² = -4 n'a aucune solution : un carré n'est jamais négatif.

4. Isoler une variable dans une formule

On résout la formule par rapport à la grandeur cherchée, comme une équation, avant de remplacer par les valeurs numériques.

La vitesse moyenne : v = d/t donne d = v × t, puis t = d/v.

Pour parcourir d = 150 km à v = 60 km/h : t = 150/60 = 2,5 h, soit 2 h 30 min.

Le périmètre d'un rectangle : P = 2(L + ℓ) donne L + ℓ = P/2, puis ℓ = P/2 - L.

5. Équation produit nul

Produit nul : Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

Exemples :

• (2x - 6)(x + 1) = 0 ⟺ 2x - 6 = 0 ou x + 1 = 0 ⟺ x = 3 ou x = -1.
• x² - 5x = 0 : on factorise d'abord, x(x - 5) = 0, donc x = 0 ou x = 5.

Attention : La règle ne marche que si le second membre est nul : (x - 1)(x + 2) = 4 ne donne pas x - 1 = 4.

6. Inéquations du premier degré

On résout comme une équation, avec une règle de plus.

Multiplier ou diviser une inégalité : Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.

Exemple : -3x + 6 > 0 ⟺ -3x > -6 ⟺ x < (-6)/(-3) ⟺ x < 2.

L'ensemble des solutions est ]-∞ ;2[. Contrôle avec x = 0 : -3 × 0 + 6 = 6 > 0, et 0 est bien dans ]-∞ ;2[.

7. Signe d'une expression du premier degré

Pour a ≠ 0, l'expression ax + b s'annule pour x = -b/a. Elle a le signe de a à droite de cette valeur, et le signe contraire à gauche.

Signe de 2x - 6 : 2x - 6 = 0 ⟺ x = 3, et a = 2 > 0 : l'expression est négative avant 3, positive après.

Signe de -x + 4 : -x + 4 = 0 ⟺ x = 4, et a = -1 < 0 : l'expression est positive avant 4, négative après.

8. Signe d'un produit factorisé

Pour étudier le signe d'un produit de deux facteurs du premier degré, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la ligne du produit, avec la règle des signes (deux facteurs de même signe donnent un produit positif).

Signe de (2x - 6)(x + 1) : x + 1 s'annule en -1, 2x - 6 en 3. On range ces valeurs dans l'ordre croissant :

Le produit est négatif sur ]-1 ;3[ : l'inéquation (2x - 6)(x + 1) < 0 a pour ensemble de solutions ]-1 ;3[.

À retenir

Résumé :

1. Développer : distributivité et identités ; le double produit ne disparaît jamais.

2. Factoriser : facteur commun ou identité lue à l'envers ; on vérifie en redéveloppant.

3. Équation du premier degré : regrouper, puis diviser par le coefficient de x.

4. Produit nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0, avec un second membre nul.

5. Inéquation : diviser par un nombre négatif change le sens.

6. Signe de ax + b : signe de a à droite de -b/a ; pour un produit, tableau de signes.