Puissances et notation scientifique

Introduction

Les puissances permettent d'écrire de manière concise des produits répétés et des nombres très grands ou très petits. La notation scientifique est particulièrement utile en sciences pour manipuler ces nombres.

1. Définition et propriétés de base

Définition : Pour un nombre réel a et un entier naturel n :

[formule]

• a est appelé la base
• n est appelé l'exposant
• a^n se lit « a puissance n » ou « a exposant n »

Exemples :

• 2^3 = 2 2 2 = 8
• 5^4 = 5 5 5 5 = 625
• (-3)^2 = (-3) (-3) = 9
• (-2)^3 = (-2) (-2) (-2) = -8

Attention : Distinguer (-a)^n et -a^n :

• (-2)^4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16
• -2^4 = -(2 2 2 2) = -16

2. Puissances d'exposant négatif

Définition : Pour un nombre réel non nul a et un entier naturel n :

[formule]

L'inverse de a^n est a^{-n}.

Exemples :

• 2^{-3} = 1{2^3} = 1{8}
• 5^{-2} = 1{5^2} = 1{25}
• (2{3})^{-2} = (3{2})^2 = 9{4}

Propriété : [formule]

3. Règles de calcul avec les puissances

3.1. Produit de puissances de même base

Règle : [formule]

Exemple : [formule]

3.2. Quotient de puissances de même base

Règle : [formule]

Exemple : [formule]

3.3. Puissance d'une puissance

Règle : [formule]

Exemple : [formule]

3.4. Puissance d'un produit

Règle : [formule]

Exemple : [formule]

3.5. Puissance d'un quotient

Règle : [formule]

Exemple : [formule]

4. Cas particuliers

Propriétés :

• a^0 = 1 (pour a 0)
• a^1 = a
• 1^n = 1 (pour tout n)
• 0^n = 0 (pour n > 0)
• 0^0 n'est pas défini

Exemples :

• 5^0 = 1
• (-7)^0 = 1
• 2^1 = 2
• 1^{100} = 1
• 0^5 = 0

5. Notation scientifique

Définition : Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est de la forme :

[formule]

où :

• 1 |a| < 10 (le coefficient est entre 1 et 10 en valeur absolue)
• n est un entier relatif

Exemple 1 : 3{,}5 10^4 = 35000

Le coefficient est 3,5 (entre 1 et 10), l'exposant est 4.

Exemple 2 : 2{,}7 10^{-3} = 0{,}0027

Pour les petits nombres, l'exposant est négatif.

5.1. Écrire un nombre en notation scientifique

Méthode : Pour écrire un nombre en notation scientifique :

1. Placer la virgule après le premier chiffre non nul
2. Compter le nombre de décalages de la virgule
3. Si on décale vers la gauche, l'exposant est positif
4. Si on décale vers la droite, l'exposant est négatif

Exemple 1 : Écrire 45000 en notation scientifique.

On décale la virgule de 4 positions vers la gauche : 45000 = 4{,}5 10^4

Exemple 2 : Écrire 0{,}00032 en notation scientifique.

On décale la virgule de 4 positions vers la droite : 0{,}00032 = 3{,}2 10^{-4}

5.2. Calculs avec la notation scientifique

Exemple : Calculer (2 10^3) (3 10^5).

[formule]

6. Puissances de 10

Tableau récapitulatif :

7. Applications pratiques

Exemple 1 : Distance : La distance Terre-Soleil est environ 1{,}5 10^8 km (150 millions de kilomètres).

Exemple 2 : Masse : La masse d'un atome d'hydrogène est environ 1{,}67 10^{-27} kg.

Exemple 3 : Calcul : Calculer 8 10^6{2 10^3}.

[formule]

À retenir

Résumé des règles :

1. Produit : a^m a^n = a^{m+n}

2. Quotient : a^m{a^n} = a^{m-n}

3. Puissance de puissance : (a^m)^n = a^{mn}

4. Puissance d'un produit : (ab)^n = a^n b^n

5. Puissance d'un quotient : (a{b})^n = a^n{b^n}

6. Exposant négatif : a^{-n} = 1{a^n}

7. Cas particuliers : a^0 = 1, a^1 = a

Conseil : Pour éviter les erreurs, appliquez les règles une par une et vérifiez vos calculs étape par étape. La notation scientifique est très utile pour les calculs avec de très grands ou très petits nombres !