Calcul avec les fractions

Introduction

Les fractions sont omniprésentes en mathématiques. Maîtriser leur manipulation est essentiel pour progresser. Cette leçon vous permettra de manipuler les fractions avec aisance : addition, soustraction, multiplication, division et simplification.

1. Rappels sur les fractions

Définition : Une fraction est un nombre de la forme a{b} où a et b sont des nombres entiers, avec b 0.

• a est appelé le numérateur
• b est appelé le dénominateur

Exemples :

• 3{4} : numérateur = 3, dénominateur = 4
• -5{7} : fraction négative
• 12{3} = 4 : une fraction peut être égale à un entier

Attention : Le dénominateur ne peut jamais être égal à zéro. La fraction a{0} n'existe pas !

2. Simplification de fractions

Définition : Simplifier une fraction consiste à la remplacer par une fraction équivalente (égale) avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Pour simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).

Méthode : Pour simplifier a{b} :

1. Trouver le PGCD de a et b
2. Diviser a et b par ce PGCD
3. a{b} = a {PGCD}{b PGCD}

Exemple 1 : Simplifier 24{36}.

Les diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Les diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Le PGCD est 12.

[formule]

Exemple 2 : Simplifier 42{56}.

On peut utiliser la décomposition en facteurs premiers :

• 42 = 2 3 7
• 56 = 2^3 7

Le PGCD est 2 7 = 14.

[formule]

Astuce : Pour vérifier si une fraction est simplifiée, vérifiez que le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. On dit alors que la fraction est irréductible.

3. Addition et soustraction de fractions

3.1. Même dénominateur

Règle : Si deux fractions ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs :

[formule]

[formule]

Exemple : [formule]

[formule]

3.2. Dénominateurs différents

Méthode : Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents :

1. Trouver un dénominateur commun (généralement le PPCM)
2. Mettre les fractions au même dénominateur
3. Additionner ou soustraire les numérateurs
4. Simplifier le résultat si possible

Règle : [formule]

[formule]

Exemple 1 : Calculer 1{3} + 2{5}.

Le PPCM de 3 et 5 est 15.

[formule]

Exemple 2 : Calculer 7{12} - 1{4}.

Le PPCM de 12 et 4 est 12.

[formule]

4. Multiplication de fractions

Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

[formule]

Exemple 1 : [formule]

Exemple 2 : [formule]

On peut simplifier avant de multiplier : 3{4} 8{9} = 1{1} 2{3} = 2{3}

Astuce : Avant de multiplier, simplifiez les fractions si possible. Vous pouvez simplifier un numérateur avec un dénominateur, même s'ils appartiennent à des fractions différentes.

5. Division de fractions

Règle : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

[formule]

Définition : L'inverse de la fraction a{b} (avec a 0) est b{a}.

Le produit d'une fraction par son inverse est égal à 1 : a{b} b{a} = 1

Exemple 1 : [formule]

Exemple 2 : [formule]

On peut simplifier avant : 7{9} 3{14} = 1{3} 1{2} = 1{6}

6. Fractions et nombres relatifs

Méthode : Pour gérer les signes dans les fractions :

• -a{b} = -a{b} = a{-b}
• -a{-b} = a{b} (moins par moins = plus)

Exemples :

• -3{4} = -3{4}
• 5{-7} = -5{7}
• -2{-3} = 2{3}

7. Calculs combinés

Exemple : Calculer A = 2{3} + 1{4} 8{5}.

D'abord la multiplication (priorité) : [formule]

Puis l'addition : [formule]

À retenir

Résumé :

1. Simplification : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD

2. Addition/Soustraction : mettre au même dénominateur, puis additionner/soustraire les numérateurs

3. Multiplication : a{b} c{d} = ac{bd}

4. Division : multiplier par l'inverse : a{b} c{d} = a{b} d{c}

5. Signes : -a{-b} = a{b}

Conseil pratique : Entraînez-vous régulièrement avec des calculs de fractions pour développer vos automatismes. La maîtrise des fractions est fondamentale pour la suite de vos études en mathématiques !