Concentration et loi des grands nombres

Sommes de variables aléatoires et concentration — Terminale Spécialité

Concentration et loi des grands nombres

Introduction

On sait que la moyenne empirique M_n se resserre autour de E(X) quand n grandit. Cette leçon en tire les deux conséquences qui tombent au bac : un théorème qui justifie toute la statistique, et une question de calcul — « déterminer le plus petit n » — qui est la plus difficile du chapitre et l'une des plus fréquentes.

1. L'inégalité de concentration

Inégalité de concentration : Soit X_1, , X_n un échantillon de taille n de la loi de X, et M_n sa [[moyenne-empirique|moyenne empirique]]. Pour tout réel a > 0 :

[formule]

D'où elle vient. Ce n'est pas un théorème de plus : c'est l'[[inegalite-bienayme-tchebychev|inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] appliquée à M_n. Il suffit de savoir que E(M_n) = E(X) et V(M_n) = V(X){n} :

[formule]

Savoir la retrouver en deux lignes vaut mieux que la retenir : c'est la même inégalité, sur une autre variable.

2. La loi des grands nombres

Loi des grands nombres : Pour tout réel a > 0 fixé :

[formule]

La démonstration tient en une phrase, et le bac peut la demander : dans la majoration V(X){n,a^2}, les quantités V(X) et a sont fixées, seul n varie. Le quotient tend donc vers 0, et la probabilité qu'il majore aussi, puisqu'elle est positive.

Ce que cela autorise. Si l'on ignore E(X) — la vraie proportion de votants, la vraie durée de vie moyenne — on peut l'approcher par une moyenne observée, avec une garantie chiffrée. C'est le fondement des sondages, du contrôle qualité et de l'estimation.

Attention : La loi des grands nombres ne dit pas que M_n finit par valoir E(X). Elle dit que la probabilité de s'en écarter notablement tend vers zéro. Sur un échantillon donné, aussi grand soit-il, M_n peut encore tomber loin — c'est seulement de plus en plus improbable.

3. Déterminer le plus petit n : la question du bac

C'est la question qui revient le plus souvent, et celle où l'on perd le plus de points. Elle apparaît au bac 2026 Métropole J1, au bac 2025 Métropole J1, au bac 2025 Asie — toujours sous la même forme.

Formulation type. « Déterminer le plus petit entier n pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que P(m < M_n < M) 0{,}95. »

Méthode : trouver le plus petit n :

  1. Centrer et lire a. L'intervalle ]m ; M[ est centré sur E(X) ; son rayon vaut a = M - E(X).

  2. Écrire ce que garantit l'inégalité. [formule]

  3. Imposer le seuil AU MINORANT, pas à la probabilité. On cherche n tel que [formule]

  4. Résoudre en n. On isole : V(X){n,a^2} 0{,}05, puis [formule]

  5. Conclure par un ENTIER. Prendre le plus petit entier supérieur ou égal au quotient, et vérifier sur n et sur n - 1.

Attention : L'étape 3 est celle qui coûte les points, et il faut bien voir ce qu'elle fait : on n'impose pas P 0{,}95, ce qu'on ne sait pas calculer — on impose au minorant d'être au-dessus de 0{,}95. Comme la probabilité est plus grande que le minorant, elle dépasse alors 0{,}95 elle aussi.

La conséquence est à comprendre : le n trouvé est suffisant, pas nécessaire. Un n plus petit peut très bien convenir en réalité ; l'inégalité ne permet simplement pas de l'affirmer. C'est pourquoi l'énoncé écrit toujours « pour lequel l'inégalité permet d'affirmer ».

4. Un exemple de bac, en entier

Bac 2025, Métropole J1. Une variable X vérifie E(X) = 7{,}14 et V(X) = 0{,}25. On considère la moyenne empirique M_N d'un échantillon de taille N. Déterminer la plus petite valeur de N pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que P(7 < M_N < 7{,}28) 0{,}95.

Étape 1. L'intervalle ]7 ; 7{,}28[ est centré sur 7{,}14 — on le vérifie : 7 + 7{,28}{2} = 7{,}14 ✓. Son rayon vaut a = 7{,}28 - 7{,}14 = 0{,}14.

Étape 2. L'inégalité de concentration donne :

[formule]

Étape 3. On impose au minorant de dépasser 0{,}95 :

[formule]

Étape 4. On isole N :

[formule]

[formule]

Étape 5. Le plus petit entier convenable est donc N = 256.

Vérification, sur 256 et sur 255 — c'est elle qui prouve qu'on a bien le plus petit :

  • pour N = 256 : 1 - 0{,25}{256 0{,}0196} = 1 - 0{,}0498 = 0{,}9502 0{,}95 ✓
  • pour N = 255 : 1 - 0{,25}{255 0{,}0196} = 1 - 0{,}0500 = 0{,}94997 < 0{,}95 ✗

Astuce : Sans la vérification sur N - 1, tu prouves qu'un entier convient, jamais qu'il est le plus petit. Deux lignes, et la question est réellement traitée.

5. Interpréter, parce que le bac le demande

Presque toutes ces questions se terminent par « interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice ». La réponse attendue n'est pas une reformulation de l'inégalité, mais une phrase concrète :

Avec un échantillon d'au moins 256 observations, on est assuré que dans au moins 95,% des cas la moyenne mesurée s'écarte de moins de 0{,}14 de la vraie valeur 7{,}14.

Deux mots à ne pas oublier dans une telle phrase : au moins (l'inégalité minore, elle n'égale pas), et la vraie valeur (ce qu'on cherche à approcher).

À retenir

  • L'inégalité de concentration est Bienaymé-Tchebychev appliquée à M_n : P(|M_n - E(X)| a) V(X){n,a^2}.
  • La [[loi-des-grands-nombres|loi des grands nombres]] s'en déduit en faisant tendre n vers +, à a fixé.
  • Pour un « plus petit n » : centrer, imposer le seuil au minorant, isoler n, puis vérifier sur n et sur n - 1.
  • Le n obtenu est suffisant, pas nécessaire : l'inégalité garantit, elle n'optimise pas.