La loi exponentielle en détail

Probabilités (lois continues) — Terminale Spécialité

La loi exponentielle en détail

Introduction

La loi exponentielle est la loi continue fondamentale pour modéliser des durées de vie, des temps d'attente et des phénomènes de fiabilité. Elle est caractérisée par une propriété remarquable : l'absence de mémoire.

1. Densité de la loi exponentielle

Loi exponentielle E() : La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre > 0, notée X E(), si sa densité est :

[formule]

Le paramètre s'appelle le taux ou intensité.

Vérification que f est une densité :

  1. f(t) 0 pour tout t ✓

  2. _0^{+} , e^{- t} , dt = [-e^{- t}]_0^{+} = 0 - (-1) = 1 ✓

Allure de la courbe : La densité de E() :

  • Part de f(0) = (valeur en 0)
  • Est strictement décroissante sur [0 ; +[
  • Tend vers 0 quand t +
  • Plus est grand, plus la courbe décroît rapidement (les petites valeurs sont plus probables)

2. Espérance et variance

Espérance et variance de E() : Si X E() :

[formule]

Remarque : pour la loi exponentielle, l'espérance est égale à l'écart type.

Démonstration de E(X) = 1/ : Par intégration par parties avec u(t) = t et v'(t) = e^{- t} :

[formule]

[formule]

Exemple : Le temps d'attente X (en heures) entre deux appels dans un centre téléphonique suit E(3).

E(X) = 1{3} 0{,}333 heure, soit 20 minutes d'attente en moyenne.

(X) = 1{3} 0{,}333 heure.

3. Calcul de probabilités

Fonction de répartition : Si X E(), pour tout t 0 :

[formule]

[formule]

Démonstration : [formule]

Calcul de P(a X b) : Pour 0 a b :

[formule]

Cas particuliers :

  • P(X t) = 1 - e^{- t}

  • P(X > t) = e^{- t}

  • P(X t) = P(X > t) = e^{- t} (variable continue)

Exemple : La durée de vie X (en mois) d'un composant suit E(0{,}05).

a) Durée de vie moyenne : E(X) = 1{0{,}05} = 20 mois.

b) P(X > 12) = e^{-0{,}05 12} = e^{-0{,}6} 0{,}549.

Le composant a 54,9% de chance de durer plus d'un an.

c) P(6 X 24) = e^{-0{,}05 6} - e^{-0{,}05 24} = e^{-0{,}3} - e^{-1{,}2} 0{,}741 - 0{,}301 = 0{,}440.

Détermination du paramètre : Si l'on connaît une probabilité, on peut retrouver :

P(X > t_0) = p_0 e^{- t_0} = p_0 - t_0 = (p_0) = -(p_0){t_0}

On peut aussi utiliser l'espérance : si E(X) = m, alors = 1{m}.

4. Propriété d'absence de mémoire

Propriété sans mémoire (ou de durée de vie sans vieillissement) : Si X E(), alors pour tous s, t 0 :

[formule]

La loi exponentielle est la seule loi continue à valeurs positives vérifiant cette propriété.

Démonstration : [formule]

[formule]

Interprétation importante : La propriété sans mémoire signifie que le système ne vieillit pas :

  • Un composant qui a déjà fonctionné s heures a la même probabilité de durer encore t heures qu'un composant neuf

  • Le « passé » n'influence pas le « futur »

  • C'est un modèle réaliste pour les composants électroniques (pannes aléatoires), mais pas pour les composants mécaniques (qui s'usent)

Exemple : Le temps X (en heures) avant une panne de serveur suit E(0{,}01).

Le serveur fonctionne déjà depuis 200 h. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore 100 h ?

Par la propriété sans mémoire : [formule]

C'est la même probabilité que pour un serveur neuf de durer 100 h.

5. Applications

Modèles d'application : La loi exponentielle modélise :

  1. Durée de vie : composants électroniques, ampoules, batteries

  2. Temps d'attente : entre deux clients, deux appels, deux événements

  3. Fiabilité : probabilité de fonctionnement sans panne

  4. Radioactivité : temps de désintégration d'un atome

  5. Files d'attente : temps de service

Résolution d'un problème de fiabilité : Données : durée de vie moyenne ou taux de panne.

  1. Identifier : si la durée de vie moyenne est m, alors = 1{m}

  2. Modéliser : X E()

  3. Calculer les probabilités demandées avec P(X > t) = e^{- t}

  4. Si besoin, utiliser la propriété sans mémoire

Exemple : garantie d'un appareil : Un fabricant sait que la durée de vie X (en années) de ses appareils suit E(0{,}2), soit une durée de vie moyenne de 5 ans.

Il offre une garantie de 2 ans. Quelle proportion d'appareils tombera en panne pendant la garantie ?

P(X 2) = 1 - e^{-0{,}2 2} = 1 - e^{-0{,}4} 1 - 0{,}670 = 0{,}330

Environ 33% des appareils tomberont en panne sous garantie.

6. Lien avec la loi de Poisson

Lien exponentielle – Poisson : Si des événements se produisent selon un processus de Poisson de paramètre (en moyenne événements par unité de temps), alors :

  • Le nombre d'événements dans un intervalle de temps de durée t suit la loi de Poisson P( t)

  • Le temps d'attente entre deux événements consécutifs suit la loi exponentielle E()

Exemple : Un standard reçoit en moyenne 4 appels par heure (processus de Poisson).

  • Le nombre d'appels en 30 min suit P(4 0{,}5) = P(2)

  • Le temps entre deux appels suit E(4), soit en moyenne 1{4} h = 15 minutes

P(attente > 20 min) = P(X > 1/3) = e^{-4/3} 0{,}264

À retenir

Résumé :

  1. Densité : f(t) = e^{- t} pour t 0, nulle pour t < 0

  2. Espérance et écart type : E(X) = (X) = 1{}, V(X) = 1{^2}

  3. Fonction de répartition : P(X t) = 1 - e^{- t}, P(X > t) = e^{- t}

  4. Absence de mémoire : P(X > s + t X > s) = P(X > t) — le système ne vieillit pas

  5. Applications : durée de vie, temps d'attente, fiabilité

  6. Lien avec Poisson : si événements/unité de temps, le temps entre événements suit E()