La loi exponentielle en détail

Probabilités (lois continues) — Terminale Spécialité

La loi exponentielle en détail

Introduction

La loi [[fonction-exponentielle|exponentielle]] est la loi continue fondamentale pour modéliser des durées de vie, des temps d'attente et des phénomènes de fiabilité. Elle est caractérisée par une propriété remarquable : l'absence de mémoire.

1. Densité de la loi exponentielle

Loi exponentielle E() : La [[variable-aleatoire|variable aléatoire]] X suit la loi exponentielle de paramètre > 0, notée X E(), si sa densité est :

[formule]

Le paramètre s'appelle le taux ou intensité.

Vérification que f est une densité :

  1. f(t) 0 pour tout t ✓

  2. _0^{+} , e^{- t} , dt = [-e^{- t}]_0^{+} = 0 - (-1) = 1 ✓

Allure de la courbe : La densité de E() :

  • Part de f(0) = (valeur en 0)
  • Est strictement décroissante sur [0 ; +[
  • Tend vers 0 quand t +
  • Plus est grand, plus la courbe décroît rapidement (les petites valeurs sont plus probables)

2. Espérance et variance

Espérance et variance de E() : Si X E() :

[formule]

Remarque : pour la loi exponentielle, l'espérance est égale à l'écart type.

Démonstration de E(X) = 1/ : Par intégration par parties avec u(t) = t et v'(t) = e^{- t} :

[formule]

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Exemple : Le temps d'attente X (en heures) entre deux appels dans un centre téléphonique suit E(3).

E(X) = 1{3} 0{,}333 heure, soit 20 minutes d'attente en moyenne.

(X) = 1{3} 0{,}333 heure.

3. Calcul de probabilités

Fonction de répartition : Si X E(), pour tout t 0 :

[formule]

[formule]

Démonstration : [formule]

Calcul de P(a X b) : Pour 0 a b :

[formule]

Cas particuliers :

  • P(X t) = 1 - e^{- t}

  • P(X > t) = e^{- t}

  • P(X t) = P(X > t) = e^{- t} (variable continue)

Exemple : La durée de vie X (en mois) d'un composant suit E(0{,}05).

a) Durée de vie moyenne : E(X) = 1{0{,}05} = 20 mois.

b) P(X > 12) = e^{-0{,}05 12} = e^{-0{,}6} 0{,}549.

Le composant a 54,9% de chance de durer plus d'un an.

c) P(6 X 24) = e^{-0{,}05 6} - e^{-0{,}05 24} = e^{-0{,}3} - e^{-1{,}2} 0{,}741 - 0{,}301 = 0{,}440.

Détermination du paramètre : Si l'on connaît une probabilité, on peut retrouver :

P(X > t_0) = p_0 e^{- t_0} = p_0 - t_0 = (p_0) = -(p_0){t_0}

On peut aussi utiliser l'espérance : si E(X) = m, alors = 1{m}.

4. Propriété d'absence de mémoire

Propriété sans mémoire (ou de durée de vie sans vieillissement) : Si X E(), alors pour tous s, t 0 :

[formule]

La loi exponentielle est la seule loi continue à valeurs positives vérifiant cette propriété.

Démonstration : [formule]

[formule]

Interprétation importante : La propriété sans mémoire signifie que le système ne vieillit pas :

  • Un composant qui a déjà fonctionné s heures a la même probabilité de durer encore t heures qu'un composant neuf

  • Le « passé » n'influence pas le « futur »

  • C'est un modèle réaliste pour les composants électroniques (pannes aléatoires), mais pas pour les composants mécaniques (qui s'usent)

Exemple : Le temps X (en heures) avant une panne de serveur suit E(0{,}01).

Le serveur fonctionne déjà depuis 200 h. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore 100 h ?

Par la propriété sans mémoire : [formule]

C'est la même probabilité que pour un serveur neuf de durer 100 h.

5. Applications

Modèles d'application : La loi exponentielle modélise :

  1. Durée de vie : composants électroniques, ampoules, batteries

  2. Temps d'attente : entre deux clients, deux appels, deux événements

  3. Fiabilité : probabilité de fonctionnement sans panne

  4. Radioactivité : temps de désintégration d'un atome

  5. Files d'attente : temps de service

Résolution d'un problème de fiabilité : Données : durée de vie moyenne ou taux de panne.

  1. Identifier : si la durée de vie moyenne est m, alors = 1{m}

  2. Modéliser : X E()

  3. Calculer les probabilités demandées avec P(X > t) = e^{- t}

  4. Si besoin, utiliser la propriété sans mémoire

Exemple : garantie d'un appareil : Un fabricant sait que la durée de vie X (en années) de ses appareils suit E(0{,}2), soit une durée de vie moyenne de 5 ans.

Il offre une garantie de 2 ans. Quelle proportion d'appareils tombera en panne pendant la garantie ?

P(X 2) = 1 - e^{-0{,}2 2} = 1 - e^{-0{,}4} 1 - 0{,}670 = 0{,}330

Environ 33% des appareils tomberont en panne sous garantie.

6. Lien avec la loi de Poisson

Lien exponentielle – Poisson : Si des événements se produisent selon un processus de Poisson de paramètre (en moyenne événements par unité de temps), alors :

  • Le nombre d'événements dans un intervalle de temps de durée t suit la loi de Poisson P( t)

  • Le temps d'attente entre deux événements consécutifs suit la loi exponentielle E()

Exemple : Un standard reçoit en moyenne 4 appels par heure (processus de Poisson).

  • Le nombre d'appels en 30 min suit P(4 0{,}5) = P(2)

  • Le temps entre deux appels suit E(4), soit en moyenne 1{4} h = 15 minutes

P(attente > 20 min) = P(X > 1/3) = e^{-4/3} 0{,}264

À retenir

Résumé :

  1. Densité : f(t) = e^{- t} pour t 0, nulle pour t < 0

  2. Espérance et écart type : E(X) = (X) = 1{}, V(X) = 1{^2}

  3. Fonction de répartition : P(X t) = 1 - e^{- t}, P(X > t) = e^{- t}

  4. Absence de mémoire : P(X > s + t X > s) = P(X > t) — le système ne vieillit pas

  5. Applications : durée de vie, temps d'attente, fiabilité

  6. Lien avec Poisson : si événements/unité de temps, le temps entre événements suit E()