Moyenne empirique et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Introduction

La leçon précédente donne l'espérance et la variance d'une somme. Mais une somme n'est pas ce qu'on observe dans la vie : on observe une moyenne. La note moyenne d'une classe, la durée de vie moyenne d'un lot, la proportion de sondés favorables — toutes sont des moyennes d'observations.

Et surtout, on veut répondre à une question que la seule espérance ne règle pas : quelle confiance accorder à une moyenne observée ? L'outil qui répond s'appelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et il a une propriété rare : il ne demande à connaître aucune loi.

1. La moyenne empirique

Moyenne empirique : Soit X_1, , X_n un échantillon de taille n de la loi de X (variables indépendantes et de même loi). La [[moyenne-empirique|moyenne empirique]] est :

[formule]

C'est une variable aléatoire : elle change d'un échantillon à l'autre. Elle a donc elle-même une espérance et une variance, qui se déduisent de la leçon précédente.

formula [formule]

D'où cela vient. M_n = 1{n}S_n, donc en appliquant E(aX) = aE(X) et V(aX) = a^2V(X) avec a = 1{n} :

[formule]

Ces deux lignes disent l'essentiel du chapitre, et il vaut la peine de s'y arrêter :

la moyenne empirique vise juste. Son espérance est exactement celle qu'on cherche : elle ne surestime ni ne sous-estime ;
elle est d'autant moins dispersée que n est grand. La variance est divisée par n, l'écart type par n.

Attention : La variance est divisée par n, pas l'écart type. Pour diviser l'incertitude par 2, il ne suffit pas de doubler la taille de l'échantillon : il faut la quadrupler. C'est pourquoi les sondages coûtent cher à améliorer.

2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Savoir que M_n est peu dispersée ne suffit pas : il faut le chiffrer. C'est ce que fait l'inégalité suivante.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Soit X une [[variable-aleatoire|variable aléatoire]] admettant une [[esperance|espérance]] et une [[variance|variance]]. Pour tout réel a > 0 :

[formule]

Ce qu'elle dit en français : la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins a est majorée par la variance divisée par a^2. Plus la variance est petite, ou plus l'écart exigé est grand, plus cette probabilité est faible.

Sa force est qu'elle ne suppose rien sur la loi de X — ni binomiale, ni symétrique, rien. Son prix est qu'elle est peu précise : la majoration est souvent très large. Elle sert donc à garantir, pas à estimer.

Astuce : La majoration peut dépasser 1, auquel cas elle ne dit rien du tout (une probabilité est toujours inférieure à 1). Si ton calcul donne un majorant supérieur à 1, tu n'as pas fait d'erreur : l'inégalité est simplement inutile pour cette valeur de a.

3. La forme réellement utilisée : minorer

Au bac, la question n'est presque jamais « majorer la probabilité de s'écarter ». Elle est « montrer que la probabilité d'être dans tel intervalle est supérieure à … ». On passe donc systématiquement à l'évènement contraire.

formula [formule]

Les deux évènements |X - E(X)| a et |X - E(X)| < a sont contraires, donc leurs probabilités ont pour somme 1 : majorer l'un revient à minorer l'autre.

Méthode : appliquer Bienaymé-Tchebychev :

Identifier la variable sur laquelle on travaille, et calculer E et V.
Centrer l'intervalle. L'énoncé donne un intervalle ]m ; M[. Vérifier qu'il est centré sur l'espérance, et lire le rayon : [formule]
Traduire. m < X < M équivaut à |X - E(X)| < a.
Appliquer, puis conclure avec la valeur numérique.

Attention : L'étape 2 n'est pas une formalité. Si l'intervalle n'est pas centré sur E(X), l'inégalité ne s'applique pas directement — il faut alors se ramener au plus grand intervalle centré qu'il contient, ce qui affaiblit la conclusion. Au bac, l'intervalle est toujours centré : vérifie-le, et dis-le.

4. Un exemple de bac, en entier

Bac 2025, Métropole J2. Le temps d'attente total sur un week-end vérifie E(T) = 100 minutes et V(T) = 356. Montrer que la probabilité que T soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à 0{,}77.

Étape 1. E(T) = 100, V(T) = 356 : donnés par l'énoncé.

Étape 2. L'intervalle ]60 ; 140[ est bien centré sur 100, et son rayon vaut a = 140 - 100 = 40 (on vérifie : 100 - 60 = 40 également).

Étape 3. 60 < T < 140 équivaut à -40 < T - 100 < 40, c'est-à-dire |T - E(T)| < 40.

Étape 4. L'inégalité donne :

[formule]

En passant à l'évènement contraire :

[formule]

Et 0{,}7775 > 0{,}77 : la conclusion demandée est établie.

Astuce : Remarque la formulation de l'énoncé : « montrer que … est supérieure à 0{,}77 ». On ne demande pas la vraie probabilité — qui est bien plus grande — mais une garantie. C'est exactement ce que Bienaymé-Tchebychev sait produire, et c'est pourquoi le bac la formule ainsi.

5. Le cas de la moyenne empirique

En appliquant l'inégalité non pas à X mais à M_n, dont la variance vaut V(X){n} :

formula [formule]

C'est l'inégalité de concentration, et le n au dénominateur change tout : à écart a fixé, la majoration devient aussi petite qu'on veut en augmentant la taille de l'échantillon. C'est l'objet de la leçon suivante.

À retenir

E(M_n) = E(X) et V(M_n) = V(X){n} : la moyenne empirique vise juste, et se resserre en 1{n}.
P(|X - E(X)| a) V(X){a^2}, sans hypothèse sur la loi.
Au bac, on l'emploie par l'évènement contraire, pour minorer.
Le geste décisif est de centrer : lire l'intervalle, en extraire a, et l'écrire sous la forme |X - E(X)| < a.