Probabilités : lois continues

Probabilités (lois continues) — Terminale Spécialité

Probabilités : lois continues

Introduction

Jusqu'ici, les variables aléatoires étudiées étaient discrètes (nombre fini ou dénombrable de valeurs). On introduit maintenant les variables aléatoires continues, qui prennent leurs valeurs dans un intervalle de R. Les probabilités se calculent alors à l'aide d'intégrales.

1. Densité de probabilité

Variable aléatoire continue : Une variable aléatoire X est dite continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle I de R.

On ne peut plus parler de P(X = a) : pour une variable continue, P(X = a) = 0 pour tout réel a.

On s'intéresse aux probabilités du type P(a X b).

Densité de probabilité : Une fonction f définie sur un intervalle I est une densité de probabilité si :

  1. f est continue sur I (sauf éventuellement en un nombre fini de points)
  2. f(x) 0 pour tout x I
  3. _I f(x),dx = 1 (l'aire totale sous la courbe vaut 1)

La probabilité que X appartienne à [a, b] est alors :

[formule]

Attention : Pour une variable continue :

  • P(X = a) = 0 (la probabilité d'une valeur exacte est nulle)
  • P(a X b) = P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b)

Les inégalités strictes ou larges ne changent pas la probabilité.

2. Espérance et variance d'une loi continue

Espérance : Si X a pour densité f sur I, l'espérance de X est :

[formule]

Variance : [formule]

L'écart type est (X) = V(X).

3. Loi uniforme continue

Loi uniforme sur [a, b :] La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a, b], notée X U([a, b]), si sa densité est :

[formule]

Propriétés de la loi uniforme : Si X U([a, b]) :

[formule]

Pour [c, d] [a, b] :

[formule]

Exemple : Un bus passe toutes les 15 minutes. Le temps d'attente X suit la loi uniforme sur [0 ; 15].

[formule]

[formule]

4. Loi exponentielle

Loi exponentielle : La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre > 0, notée X E(), si sa densité est :

[formule]

Propriétés de la loi exponentielle : Si X E() :

[formule]

[formule]

[formule]

Exemple : La durée de vie d'un composant électronique (en années) suit la loi E(0{,}2).

E(X) = 1{0{,}2} = 5 ans (durée de vie moyenne).

P(X > 3) = e^{-0{,}2 3} = e^{-0{,}6} 0{,}549.

Le composant a environ 54,9% de chance de durer plus de 3 ans.

Propriété de durée de vie sans mémoire : **La loi exponentielle est la seule loi continue vérifiant la propriété sans mémoire :

[formule]

Autrement dit, pour tout s, t 0 :

[formule]

Interprétation : un composant qui a déjà fonctionné s heures a la même probabilité de durer encore t heures qu'un composant neuf. Le composant « ne vieillit pas ».

Démonstration de la propriété sans mémoire : P(X > s + t X > s) = P(X > s + t){P(X > s)} = e^{-(s+t)}{e^{- s}} = e^{- t} = P(X > t)

5. Loi normale

Loi normale N(, ^2) : La variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres (espérance) et ^2 (variance), notée X N(, ^2), si sa densité est :

[formule]

La courbe de f est la célèbre « courbe en cloche », symétrique par rapport à la droite x = .

Propriétés de la loi normale : Si X N(, ^2) :

[formule]

La courbe est symétrique par rapport à x = et son maximum est atteint en x = .

Loi normale centrée réduite : La loi N(0, 1) est la loi normale centrée réduite. On la note souvent Z.

Si X N(, ^2), alors la variable centrée réduite :

[formule]

suit la loi N(0, 1).

6. Règle 68-95-99,7

Règle empirique (68-95-99,7) : Si X N(, ^2) :

[formule]

[formule]

[formule]

Exemple : La taille des adultes français suit approximativement N(175 ; 7^2) (en cm).

  • Environ 68% des adultes mesurent entre 175 - 7 = 168 cm et 175 + 7 = 182 cm.
  • Environ 95% mesurent entre 175 - 14 = 161 cm et 175 + 14 = 189 cm.
  • Environ 99,7% mesurent entre 175 - 21 = 154 cm et 175 + 21 = 196 cm.

7. Utilisation des tables et de la calculatrice

Calcul de probabilités avec la loi normale : Pour calculer P(a X b) avec X N(, ^2) :

Méthode 1 : Centrer-réduire puis utiliser la table

  1. Poser Z = X - {}

  2. P(a X b) = P(a - {} Z b - {})

  3. Utiliser la table de la loi N(0,1)

Méthode 2 : Calculatrice

  • TI : normalcdf(a, b, , )

  • Casio : NormCD(a, b, , )

Exemple : X N(50, 4^2). Calculer P(X 56).

On centre-réduit : Z = X - 50{4}.

[formule]

En lisant la table : P(Z 1{,}5) 0{,}9332.

Donc P(X 56) 0{,}933.

Trouver un seuil (problème inverse) : Pour trouver a tel que P(X a) = p :

  1. Trouver z_p tel que P(Z z_p) = p (table inverse ou calculatrice)

  2. Remonter à a = + z_p

Sur calculatrice :

  • TI : invNorm(p, , )

  • Casio : InvNormCD(p, , )

À retenir

Résumé :

  1. Densité : f 0 et f = 1, probabilité = aire sous la courbe

  2. Loi uniforme** U([a,b]) : f = 1{b-a}, E = a+b{2}, P(c X d) = d-c{b-a}

  3. Loi exponentielle** E() : f = e^{- x}, E = 1{}, P(X > t) = e^{- t}, propriété sans mémoire

  4. Loi normale** N(, ^2) : courbe en cloche, E = , (X) =

  5. Règle 68-95-99,7** : intervalles à 1, 2 et 3 écarts types

  6. Centrer-réduire** : Z = X - {} N(0,1)