Probabilités : lois continues

Probabilités (lois continues) — Terminale Spécialité

Probabilités : lois continues

Introduction

Jusqu'ici, les [[variable-aleatoire|variables aléatoires]] étudiées étaient discrètes (comme la [[loi-binomiale|loi binomiale]] vue en Première : un nombre fini ou dénombrable de valeurs). On introduit maintenant les [[variable-aleatoire|variables aléatoires]] continues, qui prennent leurs valeurs dans un intervalle de R. Les probabilités se calculent alors à l'aide d'intégrales.

1. Densité de probabilité

Variable aléatoire continue : Une variable aléatoire X est dite continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle I de R.

On ne peut plus parler de P(X = a) : pour une variable continue, P(X = a) = 0 pour tout réel a.

On s'intéresse aux probabilités du type P(a X b).

Densité de probabilité : Une fonction f définie sur un intervalle I est une densité de probabilité si :

  1. f est continue sur I (sauf éventuellement en un nombre fini de points)
  2. f(x) 0 pour tout x I
  3. _I f(x),dx = 1 (l'aire totale sous la courbe vaut 1)

La probabilité que X appartienne à [a, b] est alors :

[formule]

Attention : Pour une variable continue :

  • P(X = a) = 0 (la probabilité d'une valeur exacte est nulle)
  • P(a X b) = P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b)

Les inégalités strictes ou larges ne changent pas la probabilité.

2. Espérance et variance d'une loi continue

Espérance : Si X a pour densité f sur I, l'espérance de X est :

[formule]

Variance : [formule]

L'écart type est (X) = V(X).

3. Loi uniforme continue

Loi uniforme sur [a, b :] La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a, b], notée X U([a, b]), si sa densité est :

[formule]

Propriétés de la loi uniforme : Si X U([a, b]) :

[formule]

Pour [c, d] [a, b] :

[formule]

Exemple : Un bus passe toutes les 15 minutes. Le temps d'attente X suit la loi uniforme sur [0 ; 15].

[formule]

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4. Loi exponentielle

Loi exponentielle : La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre > 0, notée X E(), si sa densité est :

[formule]

Propriétés de la loi exponentielle : Si X E() :

[formule]

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[formule]

Exemple : La durée de vie d'un composant électronique (en années) suit la loi E(0{,}2).

E(X) = 1{0{,}2} = 5 ans (durée de vie moyenne).

P(X > 3) = e^{-0{,}2 3} = e^{-0{,}6} 0{,}549.

Le composant a environ 54,9% de chance de durer plus de 3 ans.

Propriété de durée de vie sans mémoire : **La loi exponentielle est la seule loi continue vérifiant la propriété sans mémoire :

[formule]

Autrement dit, pour tout s, t 0, cette [[probabilite-conditionnelle|probabilité conditionnelle]] vérifie :

[formule]

Interprétation : un composant qui a déjà fonctionné s heures a la même probabilité de durer encore t heures qu'un composant neuf. Le composant « ne vieillit pas ».

Démonstration de la propriété sans mémoire : P(X > s + t X > s) = P(X > s + t){P(X > s)} = e^{-(s+t)}{e^{- s}} = e^{- t} = P(X > t)

5. Loi normale

Loi normale N(, ^2) : La variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres (espérance) et ^2 (variance), notée X N(, ^2), si sa densité est :

[formule]

La courbe de f est la célèbre « courbe en cloche », symétrique par rapport à la droite x = .

Propriétés de la loi normale : Si X N(, ^2) :

[formule]

La courbe est symétrique par rapport à x = et son maximum est atteint en x = .

Loi normale centrée réduite : La loi N(0, 1) est la loi normale centrée réduite. On la note souvent Z.

Si X N(, ^2), alors la variable centrée réduite :

[formule]

suit la loi N(0, 1).

6. Règle 68-95-99,7

Règle empirique (68-95-99,7) : Si X N(, ^2) :

[formule]

[formule]

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Exemple : La taille des adultes français suit approximativement N(175 ; 7^2) (en cm).

  • Environ 68% des adultes mesurent entre 175 - 7 = 168 cm et 175 + 7 = 182 cm.
  • Environ 95% mesurent entre 175 - 14 = 161 cm et 175 + 14 = 189 cm.
  • Environ 99,7% mesurent entre 175 - 21 = 154 cm et 175 + 21 = 196 cm.

7. Utilisation des tables et de la calculatrice

Calcul de probabilités avec la loi normale : Pour calculer P(a X b) avec X N(, ^2) :

Méthode 1 : Centrer-réduire puis utiliser la table

  1. Poser Z = X - {}

  2. P(a X b) = P(a - {} Z b - {})

  3. Utiliser la table de la loi N(0,1)

Méthode 2 : Calculatrice

  • TI : normalcdf(a, b, , )

  • Casio : NormCD(a, b, , )

Exemple : X N(50, 4^2). Calculer P(X 56).

On centre-réduit : Z = X - 50{4}.

[formule]

En lisant la table : P(Z 1{,}5) 0{,}9332.

Donc P(X 56) 0{,}933.

Trouver un seuil (problème inverse) : Pour trouver a tel que P(X a) = p :

  1. Trouver z_p tel que P(Z z_p) = p (table inverse ou calculatrice)

  2. Remonter à a = + z_p

Sur calculatrice :

  • TI : invNorm(p, , )

  • Casio : InvNormCD(p, , )

À retenir

Résumé :

  1. Densité : f 0 et f = 1, probabilité = aire sous la courbe

  2. Loi uniforme** U([a,b]) : f = 1{b-a}, E = a+b{2}, P(c X d) = d-c{b-a}

  3. Loi exponentielle** E() : f = e^{- x}, E = 1{}, P(X > t) = e^{- t}, propriété sans mémoire

  4. Loi normale** N(, ^2) : courbe en cloche, E = , (X) =

  5. Règle 68-95-99,7** : intervalles à 1, 2 et 3 écarts types

  6. Centrer-réduire** : Z = X - {} N(0,1)