Sommes de variables aléatoires

Introduction

Presque toutes les situations réelles font intervenir une somme : le temps d'attente total sur deux jours, le nombre total d'erreurs sur une journée de caisse, la masse d'un lot de 50 pièces. On sait décrire chaque variable prise isolément — reste à décrire leur somme.

La bonne nouvelle : il existe deux règles, et elles se retiennent. La moins bonne : l'une des deux exige une hypothèse, et c'est là que se perdent la plupart des points au bac.

Ce chapitre est celui de l'exercice de probabilités du bac : sur les six sessions 2021-2026, il vaut entre 4 et 6 points, à chaque sujet.

1. Somme de deux variables aléatoires

Somme de deux variables aléatoires : Si X et Y sont deux [[variable-aleatoire|variables aléatoires]] définies sur le même univers, leur somme S = X + Y est la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe la somme des deux valeurs obtenues.

Exemple. On lance deux dés. X est le résultat du premier, Y celui du second. Alors S = X + Y est la somme des faces, et prend ses valeurs de 2 à 12.

2. L'espérance s'additionne — toujours

Linéarité de l'espérance : Pour toutes variables aléatoires X et Y :

[formule]

Cette égalité est vraie sans aucune hypothèse : X et Y peuvent être dépendantes, de lois différentes, quelconques.

C'est la propriété la plus commode du chapitre. Sur l'exemple des deux dés : E(X) = E(Y) = 3{,}5, donc E(S) = 7 — sans calculer une seule probabilité.

Astuce : Quand une question demande une espérance de somme, ne cherche jamais la loi de la somme. Additionne les espérances : c'est plus court, et c'est toujours licite.

3. La variance s'additionne — seulement si les variables sont indépendantes

Variance d'une somme : Si X et Y sont indépendantes :

[formule]

Sans cette hypothèse, l'égalité est fausse en général.

C'est le point à ne pas rater. Deux [[variance|variances]] s'ajoutent, mais deux [[ecart-type|écarts types]] non : on additionne les variances, puis on prend la racine à la fin.

[formule]

Attention : L'énoncé du bac écrit toujours « on admet que X et Y sont indépendantes », ou décrit une situation qui le justifie. Cette phrase doit être citée dans la copie au moment d'additionner les variances — sans elle, le correcteur ne peut pas savoir que tu as vérifié l'hypothèse.

Exemple (bac 2025, Métropole J2). Le temps d'attente le samedi vérifie E(T_1) = 40 et (T_1) = 10 ; le dimanche, E(T_2) = 60 et (T_2) = 16. Les deux sont indépendants et T = T_1 + T_2.

• E(T) = 40 + 60 = 100 minutes ;
• V(T_1) = 10^2 = 100 et V(T_2) = 16^2 = 256, donc V(T) = 100 + 256 = 356.

Noter le détour : on part des écarts types, on passe aux variances pour additionner, et on revient à l'écart type si besoin — ici (T) = 356 18{,}9 minutes, qui n'est pas 10 + 16 = 26.

4. Transformer une variable : aX + b

Espérance et variance de aX + b : Pour tous réels a et b :

[formule]

Deux choses à comprendre plutôt qu'à retenir :

• le b disparaît de la variance. Ajouter une constante déplace toute la distribution sans l'étaler : la dispersion ne change pas ;
• le a est au carré. La variance s'exprime en unité au carré, donc multiplier les valeurs par a multiplie la variance par a^2. Côté écart type, on retrouve (aX + b) = |a|,(X), avec une valeur absolue car un écart type n'est jamais négatif.

5. Échantillon de taille n : la somme S_n

C'est la situation du bac. On répète n fois la même expérience, de façon indépendante.

Échantillon de taille n : Un échantillon de taille n de la loi de X est une liste X_1, X_2, , X_n de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X.

On note S_n = X_1 + X_2 + + X_n leur somme.

formula [formule]

Le fait remarquable est le troisième : quand la taille de l'échantillon est multipliée par 100, la somme est multipliée par 100 en moyenne, mais sa dispersion seulement par 10. La somme grandit plus vite que son incertitude — c'est toute l'idée du chapitre, et elle sera exploitée à la leçon suivante.

Cas particulier à reconnaître. Si chaque X_i vaut 1 en cas de succès et 0 sinon (épreuve de Bernoulli de paramètre p), alors S_n compte les succès : c'est la [[loi-binomiale|loi binomiale]] B(n,;p). On retrouve bien E(S_n) = np et V(S_n) = np(1-p), puisque E(X_i) = p et V(X_i) = p(1-p).

Méthode : traiter une somme au bac :

1. Identifier la variable élémentaire X et relever E(X) et V(X) (attention : l'énoncé donne souvent l'écart type, à élever au carré).

2. Écrire la somme demandée sous la forme S_n ou X + Y.

3. Citer l'indépendance avant d'additionner les variances.

4. Appliquer les formules, et revenir à l'écart type seulement à la fin si la question le demande.

6. Un exemple complet

Une caisse automatique commet en moyenne 2 erreurs par heure, avec un écart type de 1{,}5 erreur. On observe 8 heures d'affilée, et on admet que les heures sont indépendantes.

Espérance. E(S_8) = 8 2 = 16 erreurs sur la journée.

Variance. V(X) = 1{,}5^2 = 2{,}25, donc V(S_8) = 8 2{,}25 = 18.

Écart type. (S_8) = 18 4{,}24 erreurs.

On sait maintenant qu'une journée compte 16 erreurs en moyenne, et que s'en écarter de plus de 4 ou 5 n'aurait rien d'exceptionnel. Ce qu'on ne sait pas encore, c'est quantifier cette dernière phrase : quelle est la probabilité de dépasser 24 erreurs ? C'est exactement ce que règle la leçon suivante.

À retenir

Et la phrase qui résume le chapitre : les variances s'additionnent, pas les écarts types.