Triangle de Pascal et binôme de Newton

Combinatoire et dénombrement — Terminale Spécialité

Triangle de Pascal et binôme de Newton

Introduction

Le triangle de Pascal et la formule du binôme de Newton sont deux outils majeurs de la combinatoire. Ils relient les coefficients binomiaux à l'algèbre et permettent de développer des puissances de sommes, avec des applications en probabilités et en analyse.

1. Triangle de Pascal

1.1 Construction

Triangle de Pascal : Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire de nombres, où :

  • La ligne n contient les coefficients n{0}, n{1}, , n{n}
  • Chaque coefficient est obtenu en additionnant les deux coefficients situés juste au-dessus de lui

Les premières lignes : [formule]

Construction pas à pas : Pour construire la ligne n+1 à partir de la ligne n :

  1. Écrire 1 au début et à la fin

  2. Chaque nombre intermédiaire est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui (à gauche et à droite)

Par exemple, pour la ligne n = 5 :

  • 5{1} = 4{0} + 4{1} = 1 + 4 = 5

  • 5{2} = 4{1} + 4{2} = 4 + 6 = 10

1.2 Propriétés fondamentales

Relation de Pascal : Pour tout n 0 et 0 k n :

[formule]

C'est cette relation qui permet de construire chaque ligne du triangle à partir de la précédente.

Démonstration de la relation de Pascal : En utilisant la formule des coefficients binomiaux :

[formule]

[formule]

Propriétés des coefficients binomiaux : Symétrie : n{k} = n{n-k}

Chaque ligne du triangle est palindrome (se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche).

Valeurs aux bords : n{0} = n{n} = 1

Les bords du triangle ne contiennent que des 1.

Deuxième colonne : n{1} = n

La deuxième colonne contient les entiers naturels.

1.3 Somme des lignes

Somme d'une ligne du triangle : La somme de tous les coefficients de la ligne n vaut 2^n :

[formule]

Vérification :

  • Ligne n = 0 : 1 = 2^0 ✓
  • Ligne n = 1 : 1 + 1 = 2 = 2^1 ✓
  • Ligne n = 3 : 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3 ✓
  • Ligne n = 5 : 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 ✓

Interprétation combinatoire : 2^n est le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble à n éléments. En effet, n{k} compte les sous-ensembles à k éléments, et la somme sur tous les k donne tous les sous-ensembles.

2. Formule du binôme de Newton

Binôme de Newton : Pour tous réels a et b et tout entier naturel n :

[formule]

Sous forme développée :

[formule]

Comment appliquer le binôme ? : Pour développer (a+b)^n :

  1. Identifier a, b et n

  2. Écrire la somme _{k=0}^{n} n{k} a^{n-k} b^k

  3. Calculer chaque terme en utilisant les coefficients de la ligne n du triangle de Pascal

  4. Simplifier les puissances et regrouper

Exemple : développer (x+3)^4 : On pose a = x, b = 3, n = 4. Les coefficients de la ligne 4 sont : 1, 4, 6, 4, 1.

[formule]

[formule]

Exemple : développer (2x - 1)^5 : On pose a = 2x, b = -1, n = 5. Les coefficients de la ligne 5 sont : 1, 5, 10, 10, 5, 1.

[formule]

  • k=0 : 1 32x^5 1 = 32x^5
  • k=1 : 5 16x^4 (-1) = -80x^4
  • k=2 : 10 8x^3 1 = 80x^3
  • k=3 : 10 4x^2 (-1) = -40x^2
  • k=4 : 5 2x 1 = 10x
  • k=5 : 1 1 (-1) = -1

[formule]

3. Applications du binôme

3.1 Calcul de sommes de coefficients binomiaux

Technique : valeurs particulières : En choisissant des valeurs particulières de a et b dans (a+b)^n = n{k} a^{n-k} b^k, on obtient des identités sur les coefficients binomiaux.

Identités classiques : Avec a = 1, b = 1 :

[formule]

Avec a = 1, b = -1 :

[formule]

Donc la somme des coefficients de rang pair est égale à celle de rang impair :

[formule]

Avec a = 1, b = 2 :

[formule]

3.2 Identification de coefficients

Trouver un coefficient dans un développement : Dans le développement de (a+b)^n, le terme général est :

[formule]

Pour trouver le coefficient de x^m :

  1. Exprimer T_k en fonction de x

  2. Identifier la puissance de x : résoudre n-k = m (ou l'équation correspondante)

  3. Calculer le coefficient numérique pour cette valeur de k

Exemple : coefficient de x^3 dans (3x + 2)^5 : Le terme général est :

[formule]

Pour x^3 : 5 - k = 3, donc k = 2.

[formule]

Le coefficient de x^3 est 1 080.

3.3 Applications aux probabilités

Exemple : épreuve de Bernoulli répétée : On lance un dé 10 fois. La probabilité d'obtenir exactement 3 fois un « 6 » est :

[formule]

Le coefficient 10{3} = 120 correspond au nombre de façons de placer les 3 succès parmi les 10 lancers.

4. Identités combinatoires remarquables

Identité de Vandermonde : Pour tous entiers m, n, r avec r (m, n) :

[formule]

Interprétation : On choisit r éléments parmi m + n : on peut prendre k éléments parmi les m premiers et r - k parmi les n autres, pour k variant de 0 à r.

Autres identités utiles : Somme des carrés :

[formule]

Formule d'absorption :

[formule]

Cette formule est utile pour calculer des sommes pondérées de coefficients binomiaux.

À retenir

Résumé :

  1. Relation de Pascal : n+1{k+1} = n{k} + n{k+1} — base de la construction du triangle

  2. Symétrie du triangle de Pascal : n{k} = n{n-k}

  3. Somme d'une ligne : _{k=0}^{n} n{k} = 2^n

  4. Binôme de Newton : (a+b)^n = _{k=0}^{n} n{k}, a^{n-k}, b^k

  5. Terme général : T_k = n{k} a^{n-k} b^k pour identifier un coefficient précis

  6. Valeurs particulières : a=1, b=1 donne 2^n ; a=1, b=-1 donne 0

  7. Lien avec les probabilités : le coefficient n{k} intervient dans la loi binomiale B(n,p)