Systèmes de deux équations à deux inconnues
Introduction
Un système d'équations regroupe plusieurs équations que les inconnues doivent vérifier simultanément. On se limite ici aux systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues.
1. Définition
Système linéaire : Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues (x, y) s'écrit :
[formule]
Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x, y) qui vérifient les deux équations à la fois.
Exemple : [formule]
Le couple (3, 1) est solution car 2 3 + 1 = 7 et 3 - 1 = 2 ✅
2. Méthode par substitution
Méthode de substitution :
Isoler une inconnue dans l'une des équations
Remplacer cette inconnue dans l'autre équation
Résoudre l'équation obtenue (à une inconnue)
Calculer la deuxième inconnue par substitution
Exemple détaillé : Résoudre cases 2x + y = 7 (L_1) x - y = 2 (L_2) cases
Étape 1 : On isole x dans (L_2) : x = 2 + y
Étape 2 : On remplace dans (L_1) : [formule]
Étape 3 : On résout : [formule]
Étape 4 : On calcule x : x = 2 + 1 = 3
Solution : S = {(3 ,;, 1)}
Vérification : 2(3) + 1 = 7 ✅ et 3 - 1 = 2 ✅
3. Méthode par combinaison (addition)
Méthode par combinaison :
Multiplier une ou les deux équations pour obtenir des coefficients opposés sur une inconnue
Additionner les deux équations pour éliminer cette inconnue
Résoudre l'équation obtenue
Calculer l'autre inconnue
Exemple détaillé : Résoudre cases 3x + 2y = 16 (L_1) 5x - 3y = -1 (L_2) cases
Étape 1 : On veut éliminer y. On multiplie (L_1) par 3 et (L_2) par 2 :
[formule]
Étape 2 : On additionne : [formule] [formule] [formule]
Hmm, les fractions compliquent. Reprenons avec un système plus propre !
Exemple avec nombres entiers : Résoudre cases 3x + 2y = 12 (L_1) 2x - 2y = 8 (L_2) cases
Étape 1 : Les coefficients de y sont déjà opposés (+2 et -2).
Étape 2 : On additionne (L_1) et (L_2) : [formule] [formule] [formule]
Étape 3 : On remplace dans (L_1) : [formule]
Solution : S = {(4 ,;, 0)}
Vérification : 3(4) + 2(0) = 12 ✅ et 2(4) - 2(0) = 8 ✅
4. Interprétation graphique
Interprétation géométrique : Chaque équation ax + by = c représente une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection des deux droites.
Trois cas sont possibles :
Les trois cas :
- Les droites sont sécantes : le système a une unique solution (un point d'intersection)
- Les droites sont parallèles : le système n'a aucune solution (S = )
- Les droites sont confondues : le système a une infinité de solutions
Exemple de système impossible : [formule]
La deuxième équation est 2 (2x + y) = 10, soit 2x + y = 5. Or la première dit 2x + y = 3.
On obtient 3 = 5, ce qui est impossible. Les droites sont parallèles : S = .
5. Mise en équation d'un problème
Problème concret : Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 7,10 €. 1 croissant et 4 pains au chocolat coûtent 7,30 €. Quel est le prix de chaque viennoiserie ?
Mise en équation :
- Soit x le prix d'un croissant et y le prix d'un pain au chocolat.
[formule]
Résolution par substitution :
De (L_2) : x = 7{,}30 - 4y
Dans (L_1) : [formule]
Puis : x = 7{,}30 - 4 1{,}48 = 7{,}30 - 5{,}92 = 1{,}38
Conclusion : Un croissant coûte 1,38 € et un pain au chocolat coûte 1,48 €.
Vérification : 3 1{,}38 + 2 1{,}48 = 4{,}14 + 2{,}96 = 7{,}10 ✅
À retenir
Résumé :
Substitution : isoler une inconnue puis remplacer
Combinaison** : multiplier les lignes pour éliminer une inconnue puis additionner
Un système 2×2 a en général une unique solution (droites sécantes)
Toujours vérifier le couple solution dans les deux équations