Inéquations du premier degré

Équations et inéquations — Seconde

Inéquations du premier degré

Introduction

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Contrairement à une équation, elle a en général une infinité de solutions, que l'on décrit avec un intervalle.

1. Définitions

Inéquation : Une inéquation d'inconnue x est une inégalité du type :

[formule]

Résoudre l'inéquation, c'est déterminer l'ensemble des valeurs de x qui vérifient l'inégalité.

2. Règles de résolution

Règles fondamentales :

  1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité

  2. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement positif sans changer le sens

  3. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif en inversant le sens de l'inégalité

Attention : la règle du signe ! : Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité !

[formule]

C'est l'erreur la plus fréquente en Seconde.

3. Exemples de résolution

Exemple 1 : Cas simple : Résoudre 3x - 5 > 7.

[formule]

L'ensemble des solutions est S = ]4 ,;, +[.

Exemple 2 : Changement de sens : Résoudre -2x + 6 0.

[formule]

S = [3 ,;, +[

Exemple 3 : Avec développement : Résoudre 4(x - 3) < 2x + 1.

[formule]

S = ]- ,;, 13{2}[

Exemple 4 : Double inéquation : Résoudre -3 2x + 1 < 7.

On résout les deux inégalités simultanément :

[formule]

S = [-2 ,;, 3[

4. Tableau de signes

Signe de ax + b : Le signe de l'expression ax + b dépend de la valeur de x par rapport à la racine x_0 = -b{a}.

Construire un tableau de signes : Pour ax + b avec a > 0 :

x - -b{a} +
ax+b - 0 +

Si a < 0, les signes sont inversés : positif à gauche, négatif à droite.

Exemple : Signe de -3x + 6 :

La racine est x_0 = 6{3} = 2. Comme a = -3 < 0, le signe est + puis -.

x - 2 +
-3x+6 + 0 -

Donc -3x + 6 > 0 pour x < 2 et -3x + 6 < 0 pour x > 2.

5. Signe d'un produit ou d'un quotient

Règle des signes : Pour déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient, on utilise la règle :

(+) (+) = +

(-) (-) = +

(+) (-) = -

Exemple : Résoudre (2x - 4)(x + 3) 0.

Étape 1 : Racines : 2x - 4 = 0 x = 2 et x + 3 = 0 x = -3.

Étape 2 : Tableau de signes :

x - -3 2 +
2x-4 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
Produit + 0 - 0 +

Solution : S = ]- ,;, -3] [2 ,;, +[

6. Application : problème concret

Problème : Un taxi facture une prise en charge de 3 € plus 1,20 € par kilomètre. Un VTC facture 2 € de prise en charge plus 1,50 € par km. À partir de combien de km le taxi est-il moins cher ?

Mise en inéquation :

  • Taxi : C_T = 3 + 1{,}2x
  • VTC : C_V = 2 + 1{,}5x

On cherche quand C_T < C_V :

[formule]

Conclusion : Le taxi est moins cher à partir de 4 km (valeur entière suivante).

À retenir

Résumé :

  1. Multiplier/diviser par un nombre négatif → inverser le sens de l'inégalité

  2. Les solutions d'une inéquation forment un intervalle

  3. Le signe de ax + b change en x = -b{a}

  4. Pour un produit/quotient : construire un tableau de signes