Équations du premier degré

Équations et inéquations — Seconde

Équations du premier degré

Introduction

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

1. Qu'est-ce qu'une équation ?

Équation : Une équation d'inconnue x est une égalité comportant le nombre inconnu x.

Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l'égalité. Ces valeurs forment l'ensemble des solutions, noté S.

Exemple : L'équation 2x + 3 = 7 a pour solution x = 2 car 2 2 + 3 = 7. On écrit S = {2}.

2. Équation du premier degré

Forme générale : Une équation du premier degré à une inconnue est de la forme :

[formule]

où a et b sont des nombres réels avec a 0.

Solution : **L'équation ax + b = 0 (avec a 0) a une unique solution :

[formule]

3. Règles de résolution

Propriétés fondamentales : On peut transformer une équation sans changer ses solutions en :

Ajoutant** (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres

Multipliant** (ou divisant) les deux membres par un même nombre non nul

Méthode de résolution : Pour résoudre une équation du premier degré :

  1. Développer et réduire chaque membre si nécessaire

  2. Regrouper les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre

  3. Isoler x en divisant par le coefficient

4. Exemples détaillés

Exemple 1 : Équation simple : Résoudre 3x - 7 = 2x + 5.

[formule]

Vérification : 3 12 - 7 = 29 et 2 12 + 5 = 29 ✅

S = {12}

Exemple 2 : Avec développement : Résoudre 2(3x - 1) = 4x + 6.

[formule]

S = {4}

Exemple 3 : Avec fractions : Résoudre x + 1{3} = 2x - 5{4}.

On multiplie les deux membres par 12 (PPCM de 3 et 4) :

[formule]

S = {19{2}}

5. Cas particuliers

Équation sans solution : Si après simplification on obtient une égalité fausse (comme 0 = 5), l'équation n'a aucune solution : S = .

Exemple : 2x + 3 = 2x + 7

[formule]

S =

Équation avec infinité de solutions : Si on obtient une égalité toujours vraie (comme 0 = 0), tout nombre réel est solution : S = R.

Exemple : 3(x + 2) = 3x + 6

[formule]

S = R

6. Équations-produit

Équation-produit : Une équation-produit est une équation de la forme :

[formule]

Propriété fondamentale : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :

[formule]

Exemple : Résoudre (3x - 6)(2x + 5) = 0.

[formule] [formule]

S = {-5{2} ,;, 2}

7. Mise en équation d'un problème

Méthode :

  1. Choisir l'inconnue et la nommer (x)

  2. Traduire l'énoncé en une équation

  3. Résoudre l'équation

  4. Vérifier que la solution est cohérente avec l'énoncé

  5. Conclure en répondant à la question

Problème : Un rectangle a un périmètre de 54 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 7 cm. Quelles sont ses dimensions ?

Mise en équation :

  • Soit x la largeur (en cm)
  • La longueur est x + 7
  • Périmètre : 2(x + x + 7) = 54

Résolution : [formule]

Conclusion : La largeur est 10 cm et la longueur est 17 cm.

Vérification : 2 (10 + 17) = 2 27 = 54 cm ✅

À retenir

Résumé :

  1. ax + b = 0 a pour solution x = -b{a} (si a 0)

  2. On peut ajouter/soustraire ou multiplier/diviser les deux membres par un même nombre (non nul pour la multiplication/division)

  3. Un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul

  4. Toujours vérifier la solution trouvée