Limites de suites
1. Définitions
Suite convergente — approche intuitive : La suite (u_n) converge vers R si les termes u_n se rapprochent de lorsque n devient grand.
Plus précisément : pour tout intervalle ouvert I contenant , tous les termes de la suite finissent par être dans I (à partir d'un certain rang).
Définition formelle (ε-voisinage) : La suite (u_n) converge vers R si :
[formule]
Autrement dit, quel que soit le « rayon » > 0 choisi (aussi petit soit-il), il existe un rang N à partir duquel tous les termes u_n sont à distance inférieure à de .
On note _{n +} u_n = .
Interprétation graphique : Sur un graphique :
- On trace la droite y = et la bande horizontale ] - ;; ; + [.
- À partir d'un certain rang N, tous les points (n, u_n) sont dans cette bande.
- Plus est petit, plus le rang N peut être grand, mais il existe toujours.
Suite divergente vers + : La suite (u_n) tend vers + si :
[formule]
Quel que soit le seuil A choisi, les termes finissent par dépasser A.
Suite divergente : Une suite qui ne converge pas est divergente. Elle peut :
- tendre vers + ou -
- n'avoir aucune limite (par exemple u_n = (-1)^n oscille sans converger)
2. Opérations sur les limites
Limite d'une somme :
| u_n | + | + | - | + | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| v_n | ' | + | + | - | - | - |
| (u_n + v_n) | + ' | + | + | FI | - | FI |
FI = forme indéterminée
Limite d'un produit :
| u_n | > 0 | < 0 | + | + | 0 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| v_n | ' | + | + | + | - | |
| (u_n v_n) | ' | + | - | + | - | FI |
Limite d'un quotient : Si u_n = et v_n = ' 0, alors u_n{v_n} = {'}.
Cas particulier : si u_n = 0 et v_n = 0 :
- si v_n > 0 à partir d'un certain rang et > 0, alors u_n{v_n} +
Les formes {} et 0{0} sont indéterminées.
3. Formes indéterminées
Les quatre formes indéterminées : Les cas suivants ne permettent pas de conclure directement :
[formule]
Il faut lever l'indétermination par une technique adaptée.
Méthodes pour lever une forme indéterminée :
- Factoriser par le terme dominant (plus haut degré au numérateur et au dénominateur) :
[formule]
- Expression conjuguée (pour + - avec des racines) :
[formule]
- Croissances comparées : utiliser que les exponentielles dominent les puissances, qui dominent les logarithmes :
[formule]
Limites de référence :
| Suite | Limite |
|---|---|
| 1{n^} ( > 0) | 0 |
| n^ ( > 0) | + |
| q^n avec |q| < 1 | 0 |
| q^n avec q > 1 | + |
| n^{q^n} (q > 1) | 0 (croissances comparées) |
| (n){n^} ( > 0) | 0 (croissances comparées) |
Exemple : lever une indétermination : Calculer _{n +} n^3 + 2n{3n^3 - n^2 + 1}.
C'est une forme {}. On factorise par n^3 :
[formule]
4. Théorème de convergence monotone
Théorème de convergence monotone (admis) :
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
Preuve intuitive : Pour une suite (u_n) croissante et majorée par M :
- Les termes augmentent : u_0 u_1 u_2
- Mais ils ne peuvent pas dépasser M.
- Ils s'accumulent donc autour d'une valeur limite M.
- Cette valeur est la borne supérieure de l'ensemble {u_n : n N}.
Méthode : montrer qu'une suite converge par convergence monotone : Étape 1 — Conjecturer la limite : résoudre f(x) = x pour une suite u_{n+1} = f(u_n), ou observer les premiers termes.
Étape 2 — Montrer que la suite est bornée : par récurrence, montrer que u_n [a, b] pour tout n.
Étape 3 — Montrer la monotonie : étudier le signe de u_{n+1} - u_n ou montrer que u_{n+1} u_n par récurrence.
Étape 4 — Conclure par le théorème de convergence monotone.
Étape 5 — Déterminer la limite : passer à la limite dans la relation de récurrence.
Exemple : Soit u_0 = 0 et u_{n+1} = u_n + 2.
Point fixe : = + 2 ^2 = + 2 ^2 - - 2 = 0 ( - 2)( + 1) = 0. Comme 0, = 2.
Bornée : par récurrence, 0 u_n 2 (car u_{n+1} = u_n + 2 2 + 2 = 2).
Croissante : u_{n+1}^2 - u_n^2 = u_n + 2 - u_n^2 = -(u_n - 2)(u_n + 1) 0 car u_n 2 et u_n + 1 > 0.
Comme u_n 0 et u_{n+1} 0, on a u_{n+1} u_n. La suite est croissante et majorée, donc elle converge vers = 2.
5. Suites adjacentes
Suites adjacentes : Deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes si :
- (u_n) est croissante
- (v_n) est décroissante
- _{n +} (v_n - u_n) = 0
Théorème des suites adjacentes : Si (u_n) et (v_n) sont adjacentes, alors :
- Elles convergent toutes les deux vers la même limite .
- Pour tout n : u_n v_n.
Méthode : montrer que deux suites sont adjacentes :
Montrer que (u_n) est croissante : calculer u_{n+1} - u_n et vérifier que c'est 0.
Montrer que (v_n) est décroissante : calculer v_{n+1} - v_n et vérifier que c'est 0.
Montrer que (v_n - u_n) = 0 : calculer v_n - u_n et montrer que cette expression tend vers 0.
Conclure par le théorème des suites adjacentes.
Exemple : Soit u_n = 1 + 1{2} + + 1{n} - (n) et v_n = u_n + 1{n}.
On peut montrer que (u_n) est décroissante, (v_n) est croissante (on intervertit les rôles), et v_n - u_n = 1{n} 0.
Les suites (v_n) et (u_n) sont adjacentes (en échangeant les rôles). Elles convergent vers la même limite : c'est la constante d'Euler-Mascheroni 0{,}5772.
6. Suites et fonctions
Suite u_n = f(n) : Si f est une fonction définie sur [a ; +[ et si _{x +} f(x) = , alors la suite (u_n) définie par u_n = f(n) vérifie :
[formule]
Attention à la réciproque : La réciproque est fausse ! La suite u_n = (2 n) = 0 converge vers 0, mais f(x) = (2 x) n'a pas de limite en +.
Passage à la limite dans u_{n+1} = f(u_n) : Si la suite (u_n) définie par u_{n+1} = f(u_n) converge vers et si f est continue en , alors :
[formule]
La limite est un point fixe de f.
Méthode complète : étude de u_{n+1} = f(u_n) :
Points fixes : résoudre f(x) = x pour trouver les candidats.
Intervalle stable : trouver [a, b] tel que f([a, b]) [a, b] et montrer par récurrence que u_n [a, b].
Monotonie : étudier g(x) = f(x) - x sur [a, b] pour déterminer le signe de u_{n+1} - u_n.
Convergence : suite monotone bornée convergente (théorème de convergence monotone).
Valeur de la limite : par passage à la limite, = f(), donc est le point fixe dans [a, b].
Exemple : Soit u_0 = 3 et u_{n+1} = 1{2}u_n + 1{u_n}.
Point fixe : = 1{2} + 1{}, soit 1{2} = 1{}, donc ^2 = 2. Ainsi = 2 (car > 0).
Borne inférieure : pour x > 0, par l'inégalité AM-GM : 1{2}x + 1{x} 2 {x{2} 1{x}} = 2.
Donc u_n 2 pour tout n 1.
Décroissance : u_{n+1} - u_n = 1{u_n} - 1{2}u_n = 2 - u_n^2{2u_n} 0 car u_n^2 2 pour n 1.
Conclusion : (u_n) est décroissante et minorée par 2, donc elle converge vers = 2.
À retenir
Résumé :
Convergence : u_n = signifie que u_n finit par rester aussi proche de qu'on veut (définition en )
Opérations sur les limites : les limites de sommes, produits et quotients se calculent terme à terme, sauf dans les formes indéterminées (+ - , 0 , {}, 0{0})
Lever une indétermination : factoriser par le terme dominant, utiliser l'expression conjuguée, ou appliquer les croissances comparées
Convergence monotone : toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge
Suites adjacentes : (u_n) croissante, (v_n) décroissante et v_n - u_n 0 impliquent que les deux suites convergent vers la même limite avec u_n v_n
Suite u_{n+1} = f(u_n) : si elle converge vers et f continue en , alors f() = (point fixe). Méthode : intervalle stable, monotonie, convergence monotone, passage à la limite